或る集合の元を決定したい！

質問

β,λ,θは，それぞれ任意の初等関数かつ有理関数とします．そして，

ζ(λ,θ) :＝(βλ＋θ)/(β＋1)

という式を考えます．ここで，
βは，ある有理関数β＝μ/ν (μとνは任意の有限項の多項式)で固定しておきます．
λとθは，それぞれ，βの関数で，λ＝λ(β)，θ＝θ(β)とします．
この時，λとθに任意のβの有理関数（たとえばλ＝(β^2＋β)/(β^3－β)など）を与えて，
ζ(λ,θ)が一意的に一種類に決まるようにするには，
どのようなλとθの有理関数の集合Ｓにすればよいでしょうか？
この集合Ｓを決定したいのですが，どんな手だて，方法があるでしょうか？

上記の説明が分かりにくいかも知れません．つまり，こういう事です．
(βλ＋θ)/(β＋1)をλとθの２項演算と考えて，

《λ,θ》:＝(βλ＋θ)/(β＋1)

として，すべての β,λ,θ,ζ(λ,θ) ∈Ｓ について，

《λ,θ》：Ｓ×Ｓ ⇒ Ｓ

となる集合Ｓを決めたいのです．つまり，全単射となるように
Ｓの元 β,λ,θ,ζ(λ,θ),・・・∈Ｓ を決めたいのです．
全単射ですから，どのような λとθをとってもζ(λ,θ)が
唯一（ただの一種類）決まるように，Ｓの元を決めたい，
ということですが，何か方法はあるでしょうか？
ご指導下さい．よろしくおねがいします．
なお，言っている事に，何か間違いか矛盾がありましたら，ご指摘下さい．

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

正直、補足に書いてある証明がわけわからない。

集合Ｓ ⊂ ｛有利関数全体の集合｝
（真部分集合）を求めるのが、そもそもの目的ではないのか。

そうではなくて、単に Ｓっていうのは、｛有利関数全体の集合｝の別名のこと？
一体、何がしたいのか。

うーん。
前にも書いたけど、
なんか文章の中で使われている用語が全体的に曖昧というか、本来の意味と微妙に違う意味で使われているような気がする。
数学で使われている用語にはきちんと決まった意味があるので、それ以外の意味で使われると、他人には何が言いたいのかさっぱり分かりません。

お礼

＞正直、補足に書いてある証明がわけわからない。

どなたかが，この証明にケチをつけて，誤りがあれば正してくれると有り難いと思っていたのですが，
補足に書いた証明が分からなければ，残念ながら，この先の議論が進みませんので，ここまでです．

率爾ながら，あなたの書いた「有利関数」は誤りで，「有理関数」が正しい綴りです．
色々と，ご投稿をありがとうございました．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上

回答No.3

rabbit_cat

そもそも単射（一対一）という以前に、
ζ(λ,θ)：Ｓ×Ｓ ⇒ Ｓ
が、全射（on-to）になるようなＳを探すだけでも相当な難題だと思います。
（むしろ、問題としては、単射よりも全射についてのほうが難しいような気もします。）

お礼

ご回答，有り難う御座いました．

補足

単射は，ζ(λ,θ)＝(βλ＋θ)/(β＋1)に対して，
ζ(λ,θ')＝(βλ＋θ')/(β＋1)およびζ(λ,θ'')＝(βλ＋θ'')/(β＋1)として，
λをλ＝λ0をで固定した時，(βλ0＋θ')/(β＋1)＝(βλ0＋θ'')/(β＋1)から
θ'＝θ'' が得られますから，これは確かに単射です．また，
θの方をθ＝θ0 で固定して計算しても単射が得られます．

ζ(λ,θ)＝(βλ＋θ)/(β＋1)が全射であることを示してみます．

「命題Ｉ」ζ(λ,θ)＝(βλ＋θ)/(β＋1)で定義される関数ζ：Ｓ⇒Ｓ（有理関数）は全射である．

「証明Ｉ」λを或る任意の有理関数 λ0 ∈Ｓとして固定します．
したがって，ζ(λ0,θ)＝(βλ0＋θ)/(β＋1)です．
次に，任意の有理関数を ξ∈Ｓ をとり，ζ(λ0,θ)＝ξ であるような θ を計算すると，これは，
ξ＝(βλ0＋θ)/(β＋1)であるような θ∈Ｓを示すことです．計算すると，
ξ＝(βλ0＋θ)/(β＋1)
(β＋1)ξ＝βλ0＋θ
θ＝(β＋1)ξ－βλ0
となります．ξとλ0 が有理関数ですから，θが有理関数であることは明らかです．
そして，θ∈Ｓ ですから， θ∈Ｓ かつ
ζ(λ0,θ)＝{βλ0＋(β＋1)ξ－βλ0}/(β＋1)＝(β＋1)ξ/(β＋1)＝ξ
となりますから，ζ(λ0,θ)＝(βλ0＋θ)/(β＋1)は全射です．

次に，θを或る任意の有理関数 θ0 ∈Ｓとして固定します．
したがって，ζ(λ,θ0)＝(βλ＋θ0)/(β＋1)です．
ここで，ある任意の有理関数を ψ∈Ｓ とします．
ζ(λ,θ0)＝ψ であるような λ を計算すると，
ζ(λ,θ0)＝(βλ＋θ0)/(β＋1)＝ψ ですからこれを計算すると
(βλ＋θ0)/(β＋1)＝ψ
βλ＋θ0＝(β＋1)ψ
λ＝{(β＋1)ψ－θ0}/β
です．
ψとθ0 が有理関数のとき，λ＝{(β＋1)ψ－θ0}/β の
λが有理関数であることは明らかです．
そして，λ∈Ｓ ですから，λ∈Ｓ かつ
ζ(λ,θ0)＝(βλ＋θ0)/(β＋1)＝[{β{(β＋1)ψ－θ0}/β＋θ0]/(β＋1)
＝[(β＋1)ψ－θ0＋θ0]/(β＋1)＝[(β＋1)ψ]/(β＋1)＝ψ
を得るので，ζ(λ,θ0)＝(βλ＋θ0)/(β＋1)は全射です．
よって，ζ(λ,θ)＝(βλ＋θ)/(β＋1)は全射であると言えます．(Q.E.D.)
しかし，どうすれば，全単射が得られるか，今は分かりません．

回答No.2

noname#101087

「任意の有理関数 λ1, λ2, θ1, θ2 ∈Ｓをとり .....」は無理難題のような気がしますけど…。

>λ2＝(βλ1＋θ1－θ2)/β＝λ1＋(θ1－θ2)/β
　　　↑
これが成立つ以上、両辺が等しくなるような「制限」が要るのでは？

お礼

ご指摘，ありがとうございます．
この全単射を作る事は，相当困難なことなのだ！　という事が分かってきました．

回答No.1

rabbit_cat

まず、なんか、上のほうに文章で書いてあることと、下のほうに論理式で書いてあることの内容が、一致してないような気もしますが。
＞λとθに任意のβの有理関数（たとえばλ＝(β^2＋β)/(β^3－β)など）を与えて，
これに相当する部分が下の論理式での記述には全くない感じです。
（なんか文章の中で使われている用語が全体的に曖昧というか、本来の意味と微妙に違う意味で使われているような気がする。。）

といっても、たとえ問題をはっきり定義できたとしても、答えがすっきりもとまるとはあんまり思えないですが。

とりあえず、下の論理式の部分について言えば、つまり、
∀β∈Ｓ、∀λ∈Ｓ、∀θ∈Ｓ について
ζ(λ,θ) ：Ｓ×Ｓ⇒Ｓが全単射
となるような
集合Ｓ⊂有利多項式
を、探して来いってことですか。
Ｓ＝{1}
という集合は条件を満たすので、存在することは間違いないですが。

お礼

ご回答，有り難う御座いました．

補足

回答をありがとうございます．文章が下手で申し訳ありません．

長くなるので，省略しましたが，ζ(λ,θ)＝(βλ＋θ)/(β＋1)は，例えば，
任意の有理関数 λ1, λ2, θ1, θ2 ∈Ｓをとり λ1≠λ2 , θ1≠θ2 として，
ζ(λ1,θ1)＝(βλ1＋θ1)/(β＋1)とζ(λ2,θ2)＝(βλ2＋θ2)/(β＋1)
を作り，ζ(λ1,θ1)＝ζ(λ2,θ2) から λ2 を求める計算をします．

(βλ1＋θ1)/(β＋1)＝(βλ2＋θ2)/(β＋1)

から，λ2 を求めれば，

λ2＝(βλ1＋θ1－θ2)/β

となりますから，ζ(λ1,θ1)＝ζ((βλ1＋θ1－θ2)/β,θ2)
となってしまいます．つまり，λ1 と θ1 の組と (βλ1＋θ1－θ2)/β と θ2 の
組の二つの組が同じ ζ(λ,θ) を与えてしまいますから，２項演算 Ｓ×Ｓ ⇒ Ｓ が
全単射とはならないので，これを避けたいのです．
目的は，ζ(λ,θ)＝(βλ＋θ)/(β＋1) にどのような λ,θ を入れても
ζ(λ,θ) がただ一通りになるような有理関数（多項式の比）の集合Ｓを得たいのです．