有限集合と元の個数

質問

Sを有限集合，fをf○f=id（恒等写像）を満たすようなSの置換とする．このとき，
（1）f(x)≠xであるようなx∈Sの元の個数は偶数個であることを示せ．
（2）このことを用いて位数が偶数の有限群Gは必ず位数2の元を含むことを示せ．（ヒント：Gの置換x↦x^-1を考えよ）

分からなかったので流れだけでもいいので解法をお願いいたします．

回答No.4

tmpname · ベストアンサー

(2)はそちらの方がsimpleですね。

(1)ですが、
>　yにf, f・fを作用させると，
>　　f(y)=f・f(x)=x
>　　f・f(y)=f(x)
f・f=idでしたよね？よってf・f(y)=y.
つまり
＊x∈Tに対しy=f(x)も x=f(y), f・f(y)=y
　よりy∈T、かつx≠y
ここから(x,y)という「ペア」が見えてきませんか？
後はこれらの「ペア」に対し、異なる「ペア」には
共通の元がない事を言えばいいです。

厳密に書きたいなら、T上の同値関係~を
x~y <=> 「x=y又はy=f(x)」
で定義する（つまり「ペア」を作る）と、
今言った事からx∈Tなら確かにy∈Tであって、
且つ~は確かにT上の同値関係を定める、
i.e.
＊x~x
＊x~y ⇒ y~x
　注：y~xというのは「y=x又はx=f(y)」ですね
＊x~y, y~z ⇒ x~z
を満たします（確かめて下さい）。
そこでこの同値条件によってTを類別した時、
各々の同値類の元の個数は2です（確かめて下さい）。

回答No.3

alice_44

(1)
y=f(x) を x,y の二項関係と見ると、これは S 上の同値関係になっています。
よって、この同値関係による類別 S/f が作れます。
S/f の各元は、S の元 2 個からなる集合ですから、
S の元の個数は、S/f の元の数の 2 倍、したがって偶数です。

(2)
No.2 補足の解答でよいと思います。
単位元が存在するために、x^(-1)＝x となる x の「偶数個」は 0 ではなく、
位数 2 の元が (2 以上 - 1) 個となりますね。

回答No.2

tmpname

(1)
＊T={ x∈S | f(x)≠x}
　に対し、x∈Sを取ります。

　に対し、x∈Tを取ります。
　の誤りです。

補足

> tmpname さん

先ほどは回答していただきありがとうございました．

（1）
　yにf, f・fを作用させると，
　　f(y)=f・f(x)=x
　　f・f(y)=f(x)
　ですが，ここからどうやってTの元の数が偶数個であることが言えるのでしょうか？
　（理解不足で申し訳ありません…）

（2）
　(1)は出来ていませんが，これを認めた上で解きました．
　f：x↦x^(-1)とすると，これは条件を満たすので，
　　f(x)≠x i.e x^(-1)≠x
　となるx∈Gの数は偶数個になります．
　　一方，Gは位数が偶数なので，x^(-1)＝xとなるx∈Gの数も偶数個になりますよね．
　すなわち，単位元e以外にx^(-1)＝xとなるようなxがあって，
　これはx^2=eを満たすので，Gは位数2の元を含むという感じではダメでしょうか？

回答No.1

tmpname

(1)
＊T={ x∈S | f(x)≠x}
　に対し、x∈Sを取ります。
　条件よりy=f(x)と置くとx≠y, f(y)=xとなり
　ますが、この時yにf, f・fを作用させると
　どうなりますか。
＊厳密に示したいなら、上の事を踏まえて
　各同値類の元の数が2となるような同値関係を
　Tの上に定義すればいいです。

(2)
ヒントに有るように、f(x)=x^{-1}と
置くと、f・f(x)=xであって(1)の条件を
満たしますね。
そこでGの元を
a 位数1の元
b 位数2の元
c 位数が3以上の元
と分けた時、
[1] a, b, cの元はf(x)=xになるか、それともf(x)≠xであるか
　（そもそも、f(x)=xを変形するとどうなる？）
[2] a, cの元の個数はどうなるか
　aについては位数1の元は何かを考えれば分かりますね
　cについては[1]の結果を使う
を調べ、最後にGの位数は偶数個であるということを
使いましょう。