数学 2次方程式の解の判別(確認)

質問

御世話になっております。

次の問いについての質問です。
「方程式x^2+ax-a-2=0の解を判別せい。但しaは実数」

一応やってみましたが、解法の筋道が若干不安なので、お解りになる方のアドバイスがいただきたいです。

判別式Dは、 a^2-4(-a-2)=a^2+4a+8。これをf(a)と見て、解くと、a=-2±2i つまり、aの2次関数が表す放物線は、どんな実数aについても、a軸と交わらない。f(a)>0となり、f(a)=判別式Dだから、D>0が成り立ち、与式x^2+ax-a-2=0は、異なる二つの実数解を持つ。以上

略解では合ってました。むしろ解法が不安なので質問しました。ここで使った考え方は、数学Iでも扱った2次式での絶対不等式の考えです。

この解法で良いのでしょうか。アドバイス下さい。宜しくお願い致します。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

判別式Dは、 a^2-4(-a-2)=a^2+4a+8。これをf(a)と見て、解くと、a=-2±2i つまり、aの2次関数が表す放物線は、どんな実数aについても、a軸と交わらない。f(a)>0となり、f(a)=判別式Dだから、
>D>0が成り立ち、与式x^2+ax-a-2=0は、異なる二つの実数解を持つ。以上

判別式Ｄ＞０が示せればいいので、いろいろな証明の仕方があると思いますが、

このような場合、平方完成により示すのがわりと普通だと思います。
判別式Ｄ＝a^2-4(-a-2)
　　　　=a^2+4a+8
　　　　＝（ａ^2＋４ａ＋４）－４＋８
　　　　＝（ａ＋２）^2＋４＞０
（ａ＋２）^2は、ａ＝－２のとき、（ａ＋２）^2＝０になりますが、それでも４があるので、
どんな実数ａに対してもＤ＞０になります。

お礼

あ……。平方完成の方が、式の正負の判定を示すには都合が良いですね！

非常に参考になりました。ありがとうございました