2次方程式の解の符号

質問

2次方程式の解の符号がわからないので質問します。
2次方程式2x^2-2(a-1)x+a^2-4a=0が実数解をもつとき、aの値の変化にともなって、解の符号はどのように変わるか。
解答は、D/4=(a-1)^2-2(a^2-4a)=-(a^2-6a-1)≧0、a^2-6a-1≦0から
3-√10≦a≦3+√10、このとき方程式は実数解α、β(α≦β)α+β=a-1,αβ=(1/2)a(a-4)であるから、α+β,αβの符号の変化を調べて、下記の表のようになりました。この表の解の符号がわかりません。aに3-√10などを代入し,計算しましたが、α=β<0などを導くことができません。どなたか解の符号とαとβの等しい、大小関係を教えてください。

回答No.2

gamma1854

f(a)={a-1 ± √(1+6a-a^2)}/2. の増減を添付グラフで確認してください。

お礼

グラフありがとうございます。

回答No.1

f272

a=3-√10またはa=3+√10のときはα=βで，3-√10<a<3+√10のときはα<βであること，それからα+βやαβの符号まではわかったんだよね。
そうするとまずαβの符号に注目する。
(1)
αβ>0のときはαとβはどちらもプラスまたはどちらもマイナスです。
したがってα+βの符号がマイナスならαもβもマイナス，α+βの符号はプラスならαもβもプラスになります。
(2)
αβ=0のときはα=0またはβ=0です。
したがってβ=0ならαはマイナス，α=0ならβはプラスになります。
(3)
αβ<0のときはαとβは符号が異なります。
したがってαがマイナスでβがプラスになります。

お礼

お返事ありがとうございます。