二次方程式の解の範囲の問題について

質問

二次方程式の２つの解α,βのある条件下での範囲について

いつもお世話になっております。本日もどうぞよろしくお願いします。以下の問題について困っております。

x^2-2(a-4)x+2aという二次方程式の解をα,βとする。
D/4=(a-2)(a-8), α+β=2(a-4), αβ=2a

２つの解がともに2より大きくなる（α＞2,β＞2）ことを考えます。

テキストには、
D≧0 ・・・(1)
(α-2) + (β-2) > 0 ・・・(2)
(α-2)(β-2) > 0 ・・・(3)

と書いてあるのですが、自分は、(2)を(4)、(3)を(5) のように考えました。

D≧0 ・・・(1)
α + β > 4 ・・・(4)
αβ > 4 ・・・(5)

(2)と(4)は結果が同じになるのですが、(3)と(5)については結果に違いが生じます。考え方に誤りがあるのでしょうか？

どうぞご教示よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(5)の考え方では、α < -2かつβ < -2の場合を含むことになり、
もともと考えたい話である「2解とも2より大きい」とそぐわないことになってしまいそうです。

お礼

ありがとうございます。
理解できました。。。

回答No.3

Dr-Field

例えばα=1、β=5とすると、α＋β＝6＞4、αβ＝5＞4となります。これは、
２つの解がともに2より大きくなる（α＞2,β＞2）に反しますが、(5)を満たします。(3)は満たしません。

お礼

ありがとうございます。

具体例で考えると理解できました。

回答No.2

spring135

＞(3)と(5)については結果に違いが生じます。考え方に誤りがあるのでしょうか

完全な誤りです。

(α-2)(β-2)の展開ぐらいしっかりやってください。

お礼

ありがとうございます。
ただ、私が疑問に思っていることがうまく伝わっていないようで残念です。。。