数II積分の問題

質問

急いでます！
(問題)
不等式 ｛∫(0→1)(x-a)(x-b)dx｝^2≦∫(0→1)(x-a)^2ｄｘ∫(0→1)(x-b)^2dx を証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのような場合か。ただし、a,bは定数とする。

(解き方)
(右辺)-(左辺)
=［1/3(x-a)^3］(0→1)［1/3(x-b)^3］(0→1)-［｛∫(0→1)(x-a)^2+(x-a)(a-b)｝dx］^2
=｛1/3(1-a)^3-1/3a^3｝｛1/3(1-b)^3+1/3b^3｝-｛［1/3(x-a)^3+1/2(a-b)(x-a)^2］(0→1)｝^2
=1/9(1-3a+3a^2)(1-3b+3b^2)-｛1/3(1-3a+3a^2)+1/2(a-b)(1-2a)｝^2
…この続きをお願いします！

違うやり方の方が簡単と言われるかもしれませんが、事情があってこの続きの解き方を教えてください！

回答No.1

info22 · ベストアンサー

=(1/9)(3a^2-3a+1)(3b^2-3b+1)-(1/36)(6ab-3b-3a+2)^2
=(1/12)(a-b)^2≧0 (等号はa=bの時）

補足

回答ありがとうございます。
１行目の式までは式変形が出来たのですが、１行目から２行目への式変形がわかりません。どのようになるのでしょうか？

回答No.5

mister_moonlight

mistake。。。。。。。。ｗ

（誤）等号は　m＾2-4n＝0　→　a＝b＝0　の時。
（正）等号は　m＾2-4n＝0　→　a＝b　の時。

回答No.4

mister_moonlight

これは、既に指摘があるように“シュワルツの積分不等式”の証明に過ぎない。
しかし、それを使わないなら、一見して計算が面倒な事が分る。
従って、指定の解法でやるにしても、猪突猛進は賢明ではないから、簡素化して進もう。

a＋b＝m、ab＝n　とすると、m＾2-4n≧0　‥‥(1)
(x-a)(x-b)＝x＾2-mx＋nであるから、｛∫(0→1)(x-a)(x-b)dx｝^2＝（置き換えを使って実際に計算して）＝（1/36）*（2-3m+6n）＾2.
∫(0→1)(x-a)^2ｄｘ∫(0→1)(x-b)^2dx ＝（1/9）*（1+3m＾2-3m+3n-9mn+9n＾2）となる。
よって、右辺-左辺＝（実際に計算して）＝3*（m＾2-4n）≧0、何故なら、(1)による。
等号は　m＾2-4n＝0　→　a＝b＝0　の時。

回答No.3

info22

#1です。

A#1の補足の質問について

>１行目から２行目への式変形がわかりません。どのようになるのでしょうか？
全部括弧を展開してみましょう。そうすると３項を残して全部、プラスとマイナス項が打ち消しあって消えてしまいます。
それが

＝(1/12)a^2-(1/6)ab+(1/12)b^2

の３項で、
1/12で括れば、(1/12)(a-b)^2
と(a-b)の２乗に因数分解できます。

回答No.2

naniwacchi

少々大変な計算ですね。

最後の行
=1/9(1-3a+3a^2)(1-3b+3b^2)-｛1/3(1-3a+3a^2)+1/2(a-b)(1-2a)｝^2

まず、後ろの項の｛…｝内を計算するのがよいでしょう。
見た目、aと bのバランスが悪いですが、整理すると対称な式になります。

下手に分数をくくりだすよりも、係数も分数のままで計算した方がうまくいくと思います。
あと、証明したい不等式が (右辺) - (左辺)≧0 の形なので、
(…)^2の形になるであろうことが予想されると思います。
等号成立は(…)内が 0となる場合となります。

最後に、この問題は「シュワルツの不等式」とよばれるものの具体例になっています。
シュワルツの不等式の証明は「違うやり方」になりますので、
解いた後にでも検索してみてください。