積分 証明 問題

質問

積分　証明　問題

f（x）が単調増加ならばb≧0に対して、
∫[0→a]ｆ（x）dx≦∫[b→a+b]ｆ（x）dxを証明せよ。

b=0のときは、∫[0→a]ｆ（x）dx＝∫[b→a+b]ｆ（x）dx
b＞0のときは、∫[0→a]ｆ（x）dx＞∫[b→a+b]ｆ（x）dx
理解できるのですが、どのように証明すれば良いでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

> なぜ、'(ダッシュ)が外れるのですか？

定積分における積分変数というのは，計算し終わった結果消えてしまうので，x' を使おうが x を使おうが，どっちでもいいんです，実際，たとえば

∫[0,1] x dx = 1/2,
∫[0,1] x' dx' = 1/2

って感じです．x であろうが x' であろうが，計算結果に全然関係しませんよね．

あと，説明が足りなかったかもしれませんが，「積分の単調性」というのは，

「区間[a,b]上の任意のxに対してf(x) ≦ g(x)」 ⇒ ∫[a,b] f(x) dx ≦ ∫[a,b] g(x) dx

という積分の性質のことです．

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.3

noname#154783

度々すみません．書き忘れです．

> なぜ、積分範囲が[0,a]となるのでしょうか？

x = x' + b

と置いたので，元の積分変数 x が b から a+b まで変化するなら，
x' = x - b は 0 から a まで変化しますよね．

回答No.1

noname#154783

x = x' + b
と置いて，右辺を置換積分します．

∫[b,a+b] f(x) dx
= ∫[0,a] f(x'+b) dx'
= ∫[0,a] f(x+b) dx.

fは単調増加関数なので区間[0,a]上において
f(x) ≦ f(x+b) (∵b ≧ 0).

したがって積分の単調性より

∫[0,a] f(x) dx ≦ ∫[0,a] f(x+b) dx = ∫[b,a+b] f(x) dx.

補足

ご回答ありがとうございます。
式変形が理解できなかったので、教えて下さい。

∫[b,a+b] f(x) dx
= ∫[0,a] f(x'+b) dx'
なぜ、積分範囲が[0,a]となるのでしょうか？
= ∫[0,a] f(x+b) dx
なぜ、'(ダッシュ)が外れるのですか？

ご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m