不定積分

質問

∫x^n/n!dx=x^(n+1)/(n+1)!+C（積分定数）
となりますが、
n→∞とすると、
左辺＝C
右辺＝∫0dx=0
だからC＝０
この議論てあってますか？？

回答No.3

owata-www

＃１ですが、勘違いしていました (苦笑

lim[n→∞]x^(n+1)/(n+1)!=lim[n→∞]x^n/n=0
になります。
よって、左辺＝右辺＝Ｃ（積分定数）となっておしまいです

回答No.2

arrysthmia

右辺について、x の値は、関係ありません。
任意の x について、|x| より大きい自然数 m を取れば、
|x|^n / n ! ≦ |x|^n / { m ! ・ m^(n-m) } = (|x|/m)^n / (m ! ・ m^-m)
ですから、lim[n→∞] x^n / n ! = 0 は成り立ちます。

オカシイのは、
左辺は不定積分なので、∫ 0 dx は、0 ではなく、任意定数である
ハズだということです。ここを修正すれば、
質問の議論は、左辺の積分定数 ＝ 右辺の積分定数 という結論
になって、あまり面白いことはありません。

また、上記の m の取り方から考えて、
lim[n→∞] x^n / n ! = 0 の収束が x について一様でありませんから、
lim[n→∞] ∫ x^n / n ! dx = ∫ lim[n→∞] x^n / n ! dx という
変形には、疑問が残ります。

回答No.1

owata-www

合ってません
右辺は、-1≦x≦1の時は0になりますが、1<|x|の時は∞になります