定積分

質問

|∮(a→b)f(x)dx| ≦ ∮(a→b) |f(x)|dx
この不等式はなぜ成り立つのでしょうか。
何か分かりやすい考え方はありますか?

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

問題の不等式の左辺について
ｆ（ｘ）＜０となる部分は
ｆ（ｘ）＊ｄｘ＜０となります。

一方右辺の｜ｆ（ｘ）｜ｄｘはｆ（ｘ）＜０の場合は符号を逆に
しているので、すべてのｘについて｜ｆ（ｘ）｜ｄｘは
ゼロ以上となります。

よって問題の不等式の右辺はゼロ以上の値を指定された
ｘの範囲ですべて加算したものになりますが、左辺は
ｆ（ｘ）＜０の部分は負の値を加算したのち絶対値をとる
ことになります。

この違いが問題の不等式の不等号の意味であり、もしｆ（ｘ）が
指定された範囲において常にゼロ以上であればｆ（ｘ）＊ｄｘも
常にゼロ以上なので、等号が成立します。

お礼

回答ありがとうございます。
f(x)<0の部分は負の面積として扱うので、ご指摘の通り上の不等式が成り立つ事が分かりました!!!

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

f(x)≧O と f(x)< 0の区間で
積分を分割すれば明らか。