実数体の拡大が複素数と対応することの証明

質問

大学の数学の演習の問題です。

実数体Rを含む（実数同士の演算は普通に定義されている）次のような数の体系Kを考える
（ア）元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元はa+bj(a,b∈R）の形にただ一通りに表される
（イ）Kは可換体である
このとき、KからCへの演算を保存する一対一対応が存在することを示せ

示すべきことは
f(a+bj)+f(c+dj)=f((a+bj)+(c+dj))
f(a+bj)*f(c+dj)=f((a+bj)*(c+dj))
なるf:K→Cが存在することです

僕が考えたこと
f:K→Cをf(a+bj)=a+biで定めると、結局(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)jを示せばいいことになりますが、このやり方が分かりません。
これでは駄目なのでfの選び方が駄目なのかと思って考えてみましたが、どうも見つかりそうにありません。

力を貸してください。
証明を提示していただかなくても、方針やヒントのみでも結構です。

回答No.2

rabbit_cat

＞元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元は(a,b)(a,b∈R)の形にただ一通りに表せるとしてもよいものです。

そんなわけがない。
（ア）元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元はa+bj(a,b∈R）の形にただ一通りに表される
これが、Ｋの任意の元はを(a,b)(a,b∈R)の形に表わせるという意味だとするなら、何のために j∈K-R なんてものをわざわざ選らんできたのかが意味不明。

（ア）は、可換体Ｋ上で定義されている＋、×を使って、
Ｋの任意の元が、 a+b×j と表わされる
という意味だと思うけど。
Ｋは可換体だっていうんだから、当然、結合法則や分配法則も成り立つ。

補足

すいません。確かにjを選んだ意味はないですね。忘れてください。

でもa+bjの+や×が可換体K上の＋や×でないかもしれないことは確かです
結果的にそうなるかもしれませんが、それは証明の対象です

回答No.1

Tacosan

うん? (a+bj) + (c+dj) = (a+c) + (b+d)j は加法が可換かつ結合的であることと, 乗法が加法に対して分配可能であることから言えますよね.
(a+bj)(c+dj) については結局 j^2 = x + yj とおくことができ, これを j の 2次方程式とみると (s + tj)^2 が 1, 0, -1 のいずれかとなるような実数 s, t が存在することがわかります. で, このうち 1 と 0 になる場合には零因子が存在してしまい不適. -1 のときはうまくいくんだけど結局複素数と同じ, ということになります.
というか, 多分 (ア) の方が問題になりそうなんだけど.

補足

（ア）の条件というのは
元j∈K-Rが存在して、Kの任意の元は(a,b)(a,b∈R)の形にただ一通りに表せる
としてもよいものです。つまり、a+bjの+は実数体の+ではなく形式的なもので、それが複素数体の+になるとも、実数体の+になるとも言っていません、したがって、結合法則や分配法則を何の証明もなしに使うことはできません