拡大体について

質問

L⊃Kを体の拡大とする。
拡大次数[L:K]=p(pは素数)とする。
この時任意の元α∈L＼KについてL=K(α)を示せ。

教科書の例として載っていたのですが、
例えばこれはC,Rで考えれば[L:K]=2であるから、
i∈C＼RなどでC＝K(i)={a+bi|a,b∈R}と出来るということですよね。
しかしこれはどのように示されるのでしょうか？

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

LとKの中間体をFとすれば、拡大次数に関して、
[L:K]=[L:F][F:K]
が成り立つ。
[L:K]=pが素数ならば、[L:F]=1,[F:K]=pでF=Lとなるか、
[L:F]=p,[F:K]=1でF=Kとなるしかない。
つまり、LとKの間に真の中間体は存在しない。
よって、α∈L＼KをKに添加した体K(α)はKよりも大きい体で、Lの部分
体になるが、K(α)=Lとなるしかない。

お礼

理解出来ました。ありがとうございました。