付値環

質問

付値環
記号の約束：ａ＾－１：ここではａの逆元とします。

ａ∈R：ａはRに含まれる
ａ￢∈R：ａはRに含まれない

永田　可換体論　ｐ１４９
（可換）体Ｋの部分環について次の条件は同値
（イ）ＲはＫの付値環である。
(ロ）ａ∈Ｋ、ａ￢∈R⇒ａ＾－１∈R
（ハ）（1）Ｒの商体はＫであって　（2）ａ、ｂ∈R　　、ａ￢∈ｂＲ⇒ｂ∈ａＲ

（質問）　（ロ）→（ハ）
　　（1）「Ｒの商体はＫ」は明白とありますがその理由を教えてください。

回答No.1

mina5 · ベストアンサー

kの任意の元ｔをとる。
ｔがＲに含まれるなら問題ない。
ｔがＲに含まれるないならt^-1∈R　
またＲの０でない元ｍをとりn=ｍ＊t^-1とおく、するとn∈R
このときｔ＝m/nとあらわせますよね。
だからＫの元はすべてＲ／Ｒの形にあらわせられ

Ｒの商体はＫ

お礼

自分も質問しｔからしばらく考えたらわかりました。
どうもありがとうございました。