体の拡大ですが

質問

L/Kを体の拡大、t∈Lとする。tを根とする多項式f(X)∈K[X]が存在すると仮定。
[K(t):K]が奇数ならK(t)＝K(t^2)であることを証明せよ。

体K(t)にtを添加したらK(t^2)になるのであれば話は簡単なように思うのですが、それはどうも成り立たないような気がしています。たぶん成り立ちませんよね？[K(t):K]が奇数ということも使ってないですし。
[K(t):K]が奇数、ということを使う証明法はありますか？

回答No.2

koko_u_

>[K(t):K(t^2)]=1 or 2はどのようにして導かれるのでしょうか？
K(t^2) の元を係数とする方程式 X^2 - t^2 を考えるだけだべ。

一般の記法を使うからよくわからんようになっているだけでしょう。
具体的に K が有理数体だったりする場合で考えましょう。

お礼

なるほど、わかりました！ありがとうございます！！

回答No.1

rinkun

えーと
K⊆K(t^2)⊆K(t)
[K(t):K(t^2)]=1 or 2
[K(t):K]=[K(t):K(t^2)][K(t^2):K]
が言えると思うけど。
これで[K(t):K]が奇数なら[K(t):K(t^2)]=1ですよね。

お礼

確かに！
K⊆K(t^2)⊆K(t)
[K(t):K(t^2)]=1 or 2
[K(t):K]=[K(t):K(t^2)][K(t^2):K]
が言えれば成り立ちますね！ありがとうございます！！

[K(t):K(t^2)]=1 or 2はどのようにして導かれるのでしょうか？理解が悪くてすみません。。