指数法則の証明

質問

aとbが積・について可換ならば、有理数rについて
(a・b)^r=(a^r)・(b^r)
が成立することを示したいのですが、
分かりません。ネット上を検索したところ、成立することを示せ
という問題はあったのですが、答えは見つかりませんでした。

証明してほしいのですが、証明の際にはどこで可換であることを
用いたか示してもらえるとありがたいです。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

(ab)~r は、ababab…ab と r 組の ab が並びます。
ab = ba を使って、途中 ba と並んでいる箇所を
ab に逐次交換してしまえば、最終的に aaa…abbb…b
すなわち (a~r)(b~r) になります。

形式を少し整えたければ、
r に関する帰納法にしてみれば
いくらか見栄えがするかもしれない。

お礼

たしかに。ちょっと恥ずかしい質問をしてしまいました。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Willyt

左辺、右辺、それぞれの対数を取り、それが等しいことを証明すればいいわけです。
左辺の対数＝log(a・b)^r＝rlog(a・b)=r(loga+logb)
右辺の対数＝log{(a^r)・(b^r)}＝log(a^r)+log(b^r)＝rloga+rlogb
＝r(loga+logb)
従って 左辺の対数＝右辺の対数
故に　(a・b)^r=(a^r)・(b^r)