助けてください！

質問

Ａ=可換Banach環
Ａ（可換Banach環）が単位元を持っているとき、Ａは単位的であるという。

Ａ＝Ｃ０（Ｒ）≡｛ｆ：Ｒ→Ｃ｝　(1)ｆは連続である
　　　　　　　　　　　　　　　(2)lim ｆ(ｘ)＝０
　　　　　　　　　　　　　　　ｘ→∞
このとき
Ａ＝Ｃ０（Ｒ）は単位的でないことを証明してください。
て問題なんですがさっぱりわかりませんよろしくおねがいします

回答No.1

nakaizu

単位元の意味がわかっていれば当たり前のことです。
eがAの単位元とはAの任意の元xに対してex=xe=xが成り立つことです。

この場合、Aは関数の集まった環ですから単位元も関数になります。単位元e(x)があったとすると Aの任意の関数f(x)に対してf(x)e(x)=f(x)を満たさなければいけません。このような条件を満たすのはe(x)=1という定数関数だけです。
ところがe(x)=1という関数は極限の条件(2)を満たしていないのでAに含まれません。つまり、Aは単位元を持ちません。

お礼

ありがとうございました。