ガロアの基本定理の前のところ：２

質問

ガロアの基本定理の前のところ
以下は，永田「可換体論」の一部ですが、
定理２．７．３．　ある可換体の部分体Ｋ、Ｌ．Ｋ’について、Ｋ⊆Ｌ∩Ｋ’とする。
（イ）略
（ロ）ＬがＫの有限次分離的拡大体で、K’がＫの正規拡大体であれば、K’（Ｌ）はK’の有限次分離的拡大体で、［K’（Ｌ）：K’］＝[Ｌ：（Ｋ’∩Ｌ）］

証明
（ロ）Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする。K’（ａ）＝K’（Ｌ）、K’（Ｌ）はK’のガロア拡大である。 f(ｘ)がK’上で　
Π（ｘ－ａｉ）を因子にもったとする。（ａ＝ａ1、ｓ≦ｒ）。
　ｉ＝１~ｓ
その係数ｃ1、---、ｃsをとる。ｃi∈K’．　他方ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。
ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ'''でｃ1、-　-　-、ｃsを含むものがある。
以下は省略しますが、上記のゆえに以下説明くださればありがたいのですが。

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

(1)Ｋ’はＫ’に含まれるＫ’∩Ｌの分離的な拡大体
(2)Ｋ’はＫ’に含まれるＫ’∩Ｌの正規な拡大体

というのは、仮定より、Ｋ’⊇Ｋ’∩Ｌ⊇Ｋであることを確認して下さい。次に、f(x)がＫ’上でπ[i=1～s](x-ai)を因子に持ったとするという意味は、　ai∈Ｋ’（ただし、i=1～s）ということです。また、その係数ci∈Ｋ’はaiの整式（対称式）で表されるのでＫ上分離的です。
以上のことから、Ｋ’は、Ｋ’∩Ｌの分離的な有限次正規拡大体になります。

わかりにくければ、f(x)=g(x)h(x)として、
g(x)=π[i=1～s](x-ai)
としてみて下さい。このとき、ai∈Ｋ’,ci∈Ｋ’ですので、Ｋ’は、Ｋ’∩Ｌの正規な拡大体です。（ただし、i=1～sです。）

お礼

ごていねいな解説どうもありがとうございました。
おかげでわかりました。
どうも分離的という意味がよく理解できてなかったのが原因でした。

回答No.1

ojisan7

>ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ'''でｃ1、-　-　-、ｃsを含むものがある。

ということですが、確かにそのようなＫ'''は少なくとも１つは存在します。それは、Ｋ'''＝Ｋ’のときです。Ｋ’はＫ’に含まれるＫ’∩Ｌの分離的な有限次正規拡大体ですから、Ｋ’∩ＬのGalois拡大体になりますね。

補足

Ｋ’はＫ’に含まれるＫ’∩Ｌの分離的な有限次正規拡大体ですから、Ｋ’∩ＬのGalois拡大体になりますね
(1)Ｋ’はＫ’に含まれるＫ’∩Ｌの分離的な拡大体
(2)Ｋ’はＫ’に含まれるＫ’∩Ｌの正規な拡大体
各々なぜかもう少しわかりやすく説明してほしい。
(2)はＫ’がＫの正規拡大ならその中間に対してもいつでも正規なのでしょうか。
よろしくお願いします。