複素数の演算について

質問

複素数ならいたてなんですが、そもそも複素数を考えるのは認めるとして、複素数の割り算のようなことをしても大丈夫なんでしょうか。

たとえば1/(c+id) について（c、dは実数）、これは有理化すると複素数になりますが、これはそもそも逆数を取るという操作をしても良いのでしょうか？

また複素数は大きさがないとありました。

つまり「量？」がないものについて演算しても良いのでしょうか？

また(c+id)/(c+id)について、複素数は大きさ（量？）がないものに「おなじ複素数だから」という理由？
で(c+id)/(c+id)＝１としても良いのでしょうか？実数についてa/aは分子分母同じ量だから＝１となりますよね？

もしかしたら私はとんでもない勘違いをしているのかもしれません。
以上の質問、よろしくお願いします。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

>複素数は大きさがない

普通複素数の「絶対値」を「大きさ」としますが、
大きさがない というのは何か別のレトリックだと思います。
あまり惑わされない方がよいでしょう。

複素数は身近では、交流の電圧や電流を表すのに使われていて、
大きさと角度(位相)を持つ量(交流とか波とか)を表すのに非常に便利なので、
工学分野では広く使われています。

複素数の割り算は実数から受け継いだ「大きさ」の割り算と角度(位相)の
引き算を組み合わせたもので、実数の割り算とは矛盾のない拡張になっています。

このあたりは
・オイラーの定理
・回転行列
・複素数と対数の関係

などを学べば、その美しさと便利さがわかると思います。

回答No.4

funoe

「数」を定義するとは、四則演算を定義することといっても大体間違いありません。
いま、「複素数」を定義（というか、初めて学ぶ）しているのですから、複素数の四則演算を学んでいるのでしょう。
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既回答のとおり、複素数には大小関係は（普通は）定義されません。２つの複素数ａとｂがあっても、ａ＜ｂといった関係が定義されていないということです。
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以下に記す回答は「なにを言っているじゃ、さっぱりわけわからん（怒）」となるかもしれませんが、近い将来「あぁ、なるほど」と理解してくれたら幸いです。

マイナスの数や無理数といったものの四則演算については、心底、納得いっていますか？
へんな質問ですが、
「-2/3」を見たことありますか？
「-√２」を見たことありますか？
「π」を見たことありますか？
-5/7÷｛1+√（２π）｝っていう割り算、こんなことして大丈夫なんでしょうか？

小学校で習う「算数」は、「身近に実感できる現象」を「数を使って表現」しています。だからマイナスは出てこないのです。
自然数と、正の分数は身近に実感できる対象があるのです。
りんご３個や、ケーキ2/5個分や、３０ｋｍの距離を２時間で到達する時速１５ｋｍ/時というのは、まぁまぁ実感できる数になっています。
「身近な現象」が先にあるというのが重要ポイントです。

一方、中学校以降で習う「数学」では、実生活を離れ抽象化された数（すう）を学びます。
だから急にマイナスの数が現れ、文字式が現れ。無理数が現れ、さらにπやｅなどという超越数も出現するのです。
高校ではベクトルや行列といった「数」を学びます。
行列の掛け算や割り算（逆行列）なんて、ほとんどの高校生にとって「実感できない抽象的なもの」でしょう。
複素数も同じようなものです。数としての性質（四則演算）が、しっかりと定義されているのならば、
それが生活実感との対比として理解できなくても「そんな数があるんだ」と理解するのが、中学1年生以降の「数学」（「数」の学問）という教科なのです。

回答No.3

info222_

No.2です。

ANo.2の補足について

>もしかして逆数をとっていいのは複素数のわり算が定義されているからですか？
逆数を取ることは、１をその複素数でわることと同じことでしょう。

その他については
参考URLをご覧ください。
参考URLhttp://ja.wikipedia.org/wiki/複素数

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0

回答No.2

info222_

>複素数の割り算のようなことをしても大丈夫なんでしょうか。

大丈夫。問題ありません。

>たとえば1/(c+id) について（c、dは実数）、これは有理化すると複素数になりますが、
>これはそもそも逆数を取るという操作をしても良いのでしょうか？

良いです。問題ありません。

>また複素数は大きさがないとありました。

大きさではなく、大小関係がないということです。
複素数の大きさは、複素数の絶対値のことでしょう。
複素数の絶対値は実数なので、絶対値の大小は比較できます。
複素数そのものの大小は定義されていませんので、複素数の大小比較はできません、

>つまり「量？」がないものについて演算しても良いのでしょうか？

複素数の絶対値（量？）は定義されていて存在します。
複素数の大小比較は定義されていませんのでできませんが、複素数の演算は定義されていますので
複素数の四則演算はしても問題ありません。

>また(c+id)/(c+id)について、複素数は大きさ（量？）がないものに「おなじ複素数だから」という理由？
で(c+id)/(c+id)＝１としても良いのでしょうか？

大きさが絶対値を指すとすれば、大きさ（量？）はあります。
複素数の割り算も定義されていますので、(c+id)/(c+id)＝１としても問題ありません。

>もしかしたら私はとんでもない勘違いをしているのかもしれません。

大筋は、勘違いではありません。複素数に大小関係は定義されていませんので、複素数同士の大小比較はできませんが、複素数の絶対値の大小は比較可能です。
つまり、ｚ=x+i yの絶対値　|z|=√(x^2+y^2)の大小の比較は可能です。

>実数についてa/aは分子分母同じ量だから＝１となりますよね？

その通りです。複素数についても、分子、分母が同じなら約分できて、＝1 となります。」

補足

「>>これはそもそも逆数を取るという操作をしても良いのでしょうか？

>良いです。問題ありません。

>複素数の大小比較は定義されていませんのでできませんが、複素数の演算は定義されていますので
複素数の四則演算はしても問題ありません。」

とありましたが、もしかして逆数をとっていいのは複素数のわり算が定義されているからですか？だとすると、複素数が実数のように四則演算できるのは、それが複素数の四則演算の「定義（公理？）」だからでしょうか？ということは今日ある複素関数論なるものはこれらを公理として話を進めているということですか？

お願いします。

回答No.1

notnot

量が無いわけではないです。大小比較が定義されていないだけで。

実数部、虚数部はそれぞれ実数だし、絶対値というものもあるし。
そのままでは大小比較できない以外は普通に計算できます。

特に勘違いなさっている部分は無いと思います。

補足

量があるのに大小比較ができないのはちょっと理解しがたいです。

複素数の絶対値とは複素数平面上で便宜上？勝手に定義されたものでそれ自身は複素数の量を示しているわけではないのですか？