解答の仕方

質問

f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋ f(y)
この式を満たすf(x)を求めよという問題で、上式を満たすf(x)はいくつかわかったのですが、それらをひっくるめて表現するにはどうしたらいいのでしょうか？

回答No.2

nubou · ベストアンサー

ｆ（（ｎ＋１）・ａ）＝ｆ（ｎ・ａ）＋ｆ（ａ）
より
ｆ（ｎ・ａ）＝ｎ・ｆ（ａ）・・・（＊）
が数学的帰納法で

（＊）でａ＝１／ｎ　（ｎ≠０）とすると
ｆ（１）＝ｆ（ｎ・（１／ｎ））＝ｎ・ｆ（１／ｎ）
すなわちｆ（１／ｎ）＝ｆ（１）／ｎ・・・（＊＊）

（＊）でａ＝１／ｍ　（ｍ≠０）とすると
ｆ（ｎ／ｍ）
＝ｆ（ｎ・（１／ｍ））
＝ｎ・ｆ（１／ｍ）
＝ｎ・ｆ（１）／ｍ
＝ｎ／ｍ・ｆ（１）
最後は（＊＊）を使った

従ってｘが有理数のときは
ｆ（ｘ）＝ｘ・ｆ（１）

ｘを実数αに限りなく近づけると
ｆ（α）
＝ｌｉｍ（ｘ→α）・ｆ（ｘ）
＝ｌｉｍ（ｘ→α）・ｘ・ｆ（１）
＝α・ｆ（１）

補足で複素数に拡張してください

回答No.3

nubou

数学的帰納法よりａを実数としｎが自然数としたとき
ｆ（ｎ・ａ）＝ｎ・ｆ（ａ）・・・（＊）

ｎを自然数とし（＊）でａ＝１／ｎとすれば
ｆ（１）＝ｆ（ｎ・（１／ｎ））＝ｎ・ｆ（１／ｎ）
すなわちｆ（１／ｎ）＝ｆ（１）／ｎ

ｍを自然数とし（＊）でａ＝１／ｍとすると
ｆ（ｎ／ｍ）
＝ｆ（ｎ・（１／ｍ））
＝ｎ・ｆ（１／ｍ）
＝ｎ・ｆ（１）／ｍ
＝ｎ／ｍ・ｆ（１）

従ってｘが正の有理数のときは
ｆ（ｘ）＝ｘ・ｆ（１）

正の有理数ｘを正の実数αに限りなく近づけると
ｆ（α）
＝ｌｉｍ（ｘ→α）・ｆ（ｘ）
＝ｌｉｍ（ｘ→α）・ｘ・ｆ（１）
＝α・ｆ（１）

以上からαが正の有理数のときに
ｆ（α）＝α・ｆ（１）

補足に
（１）αが負の実数のときｆ（α）＝α・ｆ（１）
を示せ
（２）αが複素数のときｆ（α）＝α・ｆ（１）
とは限らないことを示せ

お礼

詳しい解説ありがとうございました！

回答No.1

ranx

f(x)=ax (aは任意の定数)
で良いのではないでしょうか。
なぜそうなるかまで示そうとすると
ちょっと大変そうですけど。

お礼

ありがとうございました！