位相幾何学です、解答よろしくお願いします！

質問

位相幾何学です、解答お願いします！
(1)S^1= {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1} から S^1 への写像 f : S^1 → S^1 を f (x, y) = (－x, －y) で定める f と恒等写像はホモトピックであることを示せ。
(2)R^2 \ {(0, 0)} は S^1 とホモトピー同値であることを示せ。

回答No.1

muturajcp

(1)
S^1={(x,y)∈R^2|x^2+y^2=1}
からS^1への写像
f:S^1→S^1
を
f(x,y)=(-x,-y)
で定める
写像
H:S^1×[0,1]→S^1
を
H(x,y,t)=(xcos(tπ)-ysin(tπ),xsin(tπ)+ycos(tπ))
と定義すると
H(x,y,0)=(x,y)=1_S^1(x,y)
H(x,y,1)=(-x,-y)=f(x,y)
となり
Hは連続だから
fと恒等写像1_S^1はホモトピックである

(2)
写像
f:R^2-{(0,0)}→S^1
を
f(x,y)=(x/√(x^2+y^2),y/√(x^2+y^2))
と定義する
写像
g:S^1→R^2-{(0,0)}
を
f(x,y)=(x,y)
と定義する
f〇g:S^1→S^1
f〇g(x,y)=(x,y)=1_S^1(x,y)
は恒等写像1_S^1になるから
f〇g=1_S^1

g〇f:R^2-{(0,0)}→R^2-{(0,0)}
g〇f(x,y)=(x/√(x^2+y^2),y/√(x^2+y^2))
写像
H:R^2-{(0,0)}×[0,1]→R^2-{(0,0)}
を
H(x,y,t)=(x/√(x^2+y^2)^t,y/√(x^2+y^2)^t)
と定義すると
H(x,y,0)=(x,y)=1_[R^2-{(0,0)}](x,y)
H(x,y,1)=(x/√(x^2+y^2),y/√(x^2+y^2))=g〇f(x,y)
となり
Hは連続だから
g〇fと恒等写像1_[R^2-{(0,0)}]はホモトピックである
∴
R^2-{(0,0)}はS^1とホモトピー同値である