解答の意味が良くわかりません

質問

放物線ｙ＾２＝４ｐｘ（Ｐ＞０）の焦点Ｆを通る弦の両端Ｐ．Ｑから準線へ下した垂線の足をそれぞれ、Ｒ．Ｓとする。
（１）ＲＦはＳＦに垂直である事を示せ
（２）線分ＲＳの中点をＭとし、２線分ＰＲ，ＱＳの長さをそれぞれａ、ｂとする時、線分ＭＦ＝√{P(a+b)}を示せ。

＜解答＞直線ＰＦはｘ軸に平行でなく、Ｆ（p,0)を通るので、ｘ＝ｍｙ＋ｐと表せる。

＜質問１＞ｘ＝ｍｙ＋ｐはＰＦではなくて、Ｆ(p.0)を通過する直線ですか？あと、どうしてｘ＝ｍｙ＋ｎの式のｎは確かに切片なので、焦点Ｆのｘ座標はｐなのでｎにｐを代入するのは解るのですけど、フト思ったのは、ｘには代入しては駄目なのですか？ｐ＝ｍｙ＋ｎとしては駄目ですか＞＿＜？

＜解答続き＞これとy＾2=4pxとの交点P.Qのy座標はy＾2=4p(my+p) ∴y＾2-4pmy-4p＾2=0この式の解α、βである。∴Ｐ(ｍα＋ｐ、α）Ｑ（ｍβ＋ｐ、β）

＜質問２＞Ｐ(ｍα＋ｐ、α）Ｑ（ｍβ＋ｐ、β）はどのようにすれば求まるのですか？y＾2-4pmy-4p＾2=0この式にαをyに代入しても、α＾2-4pmα-4p＾2=0となって、Ｐ（ｘ、ｙ）のｘの部分ｍα＋ｐが求まりません。

＜解答続き＞
ここで解と係数の関係より　α＋β＝４ｐｍ、αβ＝ー４ｐ＾２　（Ａ）
よってＲ（－ｐ、α）、Ｓ（－ｐ、β）であり、ＲＦ、ＳＦの傾きの積は（Ａ）より、（－α/2p)(-β/2p)=αβ/4p＾2 = -1 よってＲＦとＳＦは垂直である。

＜質問３＞（－α/2p)(-β/2p)=αβ/4p＾2 = -1
はどのようにして、式を作ったのですか？ｍとｍ＾はどうやって求められるのですか？あとP(mα＋p,α）Q(mβ＋β,β）の式って最後答えまで見ても、何処にも使われてないように見えますケド＞＿＜？？？

（２）はＭ（－ｐ、２ｐｍ）までは解ったのですけど、ココから先が解りませんでした！

宜しくお願いします＞＿＜！！

回答No.1

debut · ベストアンサー

＜質問１＞の答え
　　この直線は、Ｐ，Ｆ，Ｑを通る直線です。
　　また、おっしゃるとおりｎに切片ｐを代入したのであって、ｘに代入
　　したのでは点Ｆでのみ成り立つ式を求めることになるのでやりません。

＜質問２＞の答え
　　方程式y＾2-4pmy-4p＾2=0は交点のｙ座標を求める式であって、ｘを
　　求めるためには、もとの曲線か直線の式のｙに解ｙ＝α、ｙ＝βを代入
　　するしかありません。
　　ここでは、直線ｘ＝ｍｙ＋ｐに代入して求めます。
　　よって、Ｐ(ｍα＋ｐ、α）Ｑ（ｍβ＋ｐ、β）。

＜質問３＞の答え
　　座標からＲＦとＳＦの傾きを求めます。
　　ＲＦの傾きは、例の（ｙ座標の差)/(ｘ座標の差）から
　　(α－０)/(－ｐ－ｐ)＝－α/２ｐ　　※Ｒ座標－Ｆ座標
　　同様に、ＳＦの傾きは－β/２ｐ
　　なお、Ｐ，Ｑの座標は（２）の問題で使います。

（２）直線ＲＳとｘ軸との交点をＴとして、直角三角形ＭＴＦで三平方の
　　　定理を使います。
　　　(ＭＦ)^2＝(ＭＴ)^2＋(ＴＦ)^2　で、ＭＴ＝２ｐｍ、ＴＦ＝２ｐ
　　　を代入してその後２乗をはずすと　
　　　　　ＭＦ＝√(４ｐ^2ｍ^2＋４ｐ^2)　・・・☆
　　　ここで、ａ＝ｍα＋２ｐ　←Ｐのｘ座標にＲのｘ座標の絶対値をたす
　　　　　　　ｂ＝ｍβ＋２ｐ　←Ｑのｘ座標にＳのｘ座標の絶対値をたす
　　　より、ａ＋ｂ＝ｍ(α＋β)＋４ｐ　で　α＋βに４ｐｍを入れて
　　　ａ＋ｂ＝４ｐｍ^2＋４ｐ　これを☆の√の中にあてはめると・・・

お礼

いつも返事書いていただいて本当にどうもありがとうございます＞＿＜！！
いつも、何度も読み返してます！
本当にどうもありがとうございました！！（＾０＾）！！

回答No.2

noname#138471

まずこの問題は、どんな場合でも「ＲＦはＳＦに垂直であること」と、「線分ＭＦ＝√{p(a+b)}」と、２つの一般論を問うているものです。

＜質問１＞のｘ＝ｍｙ＋ｐはあくまで点Ｆを通る直線の一般式、この直線と放物線との交点がＰ，Ｑ、と考えれば頭の中の整理が付くでしょう。
また、「代入」するなら、ｘ座標・ｙ座標両方を代入しなければ意味がありません。ｘ＝ｍｙ＋ｎに（ｘ，ｙ）＝（ｐ，０）を代入し、両辺が０になるようにｎの値を求めた結果、ｘ＝ｍｙ＋ｐという直線の式が求まったのです。

＜質問２＞は、直線と放物線との交点Ｐ，Ｑの座標を求めるにあたって、ｙ座標の値の方が求まりやすいので、ｙについての２次方程式y＾2-4pmy-4p＾2=0の、ｙの解を求めようにも、解が複雑ですし、後で解と係数の関係が使えますので、とりあえずαとβをしています。深い意味はありません。
そして、点Ｐ，Ｑは点Ｆを通る直線ｘ＝ｍｙ＋ｐ上にあるので、ｙ＝αまたはβをｘ＝ｍｙ＋ｐに代入し、ｘの値を求まります。よってＰ（ｍα＋ｐ，α），Ｑ（ｍβ＋ｐ，β）となります。あくまで一般的にこの値をとることを表しているのであり、ｍおよびαやβに深い意味はありません。

＜質問３＞準線についての基礎知識がないのですが、答えられなくはないです。要するに直線ｘ＝－ｐのことでしょう。
直線ＲＦの傾きは、点Ｒと点Ｆの座標がそれぞれ（－ｐ、α）、（ｐ，０）ですから、-α／2p
直線ＳＦの傾きは、同様にして-β／2p
なので、（－α/2p)(-β/2p)=αβ/4p＾2 = -1が求まります。

（２）は、そもそも点Ｍ（－ｐ，２ｐｍ），点Ｆ（ｐ，０）と、座標が分かっていますので、線分ＭＦの長さはすぐに求まります。
ＭＦ^2＝（２ｐ）^2＋（２ｐｍ）^2
　∴　ＭＦ＝２ｐ√（１＋ｍ^2）
さらに、２線分ＰＲ，ＱＳの長さはそれぞれ２ｐ＋ｍα，２ｐ＋ｍβとすぐに求まるので、わざわざ問題文でａ，ｂと置き換えてもらっていますが、
ａ＋ｂ＝４ｐ＋ｍ（α＋β）
　　　＝４ｐ＋ｍ＊４ｐｍ
　　　＝４ｐ（１＋ｍ^2）
ここから、１＋ｍ^2＝（ａ＋ｂ）／４ｐがもとまり、
ＭＦ＝２ｐ√（１＋ｍ^2）に代入すると、ＭＦ＝√{ｐ(a+b)}が得られます。

最後に繰り返しますが、この問題はどんなＰ，Ｑでも成り立つことを答えさせています。αやβには深い意味はありません。

お礼

返事書いて頂いてどうもありがとうございました！！
おかげで解りました＞＿＜！！
本当にどうも、ありがとうございました！！