数I ２次関数の解答で解らない所が

質問

下の問題で解答の中の
x≧0,y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2 、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば、そのとき(1)は最小となる

この下りの理由が解らないのですが、どなたか解説おねがいできませんでしょうか

●問題
x,yの関数f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2

関数f(x,y)について、x,yの範囲をx≧0,y≧0に制限したときの
最小値を求めよ。また、このときのx,yの値を求めよ。

●答え
(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27・・・(1)
x≧0,y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2 、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば、そのとき(1)は最小となる
等号はy=0かつx+2y-3=0、つまりy=0かつx=3のとき同時に成り立つ
よって、(1)の最小値は4^2-27=-11

回答No.2

ferien · ベストアンサー

●問題
x,yの関数f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2

関数f(x,y)について、x,yの範囲をx≧0,y≧0に制限したときの
最小値を求めよ。また、このときのx,yの値を求めよ。

●答え
(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27・・・(1)
x≧0,y≧0のとき、(y+4)^2≧4^2 、(x+2y-3)^2≧0
これらの等号が同時に成立すれば、そのとき(1)は最小となる
等号はy=0かつx+2y-3=0、つまりy=0かつx=3のとき同時に成り立つ
>よって、(1)の最小値は4^2-27=-11

x,yの関数f(x,y)=x^2+5y^2+4xy-6x-4y-2　から、平方完成によって、
(x+2y-3)^2+(y+4)^2-27・・・(1)　のようになります。
(x+2y-3)^2≧0については、２乗した式は負にならないから成立。
(y+4)^2≧4^2については、
y≧0だからｙ＋４≧４が成り立ち、ｙ＋４＞０、４＞０で、
両辺が正だから、２乗しても不等式は成り立つ。
もし(y+4)^2≧０とすると、等号成立を考えたとき、ｙ＝－４となってしまい、
y≧0の条件をみたさなくなるから、また、等号成立でｙ＝０となるのは、
ｙ＋４＝４のときだから、上のような不等式にしているのだと思います。

お礼

解答ありがとうございました
よくわかりました

回答No.1

hrsmmhr

x>=0,y>=0も等号のとき、と勘違いされていませんか？
その後の２式が等号のときと読んでください

二つの式はいくら以上といってますか？
それぞれの式にすぐに分かる最小値があると思いますが

お礼

解答ありがとうございました!