複素関数の式変形

質問

複素関数について勉強していてわかんなくなったので教えてください。

☆|z+4|+|z|<8 の条件を満たす複素数の存在範囲を式を用いて説明せよ。

っていう問題なのですが、楕円になるのはわかりますが、うまく式で示せないです。
z=x+jy (jは複素数)　を上式に代入して

| (x+4)+yi | + | x+yi | < 8
√{(x+4)^2+y^2} + √(x^2+y^2) < 8

にして両辺を2乗して√消そうと思ったんですが、式がごちゃごちゃになって√が簡単に消せそうにないです。

簡単でしょうがこのなるべくわかりやすくやり方を書いていただければうれしいです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
（－４，０）、（０，０）を焦点とする楕円ですね。

「両辺を２乗」の方針でよいです。
ちょっとがんばれば、できますよ。

ｚ　＝　ｔ－２
ｔ　＝　Ｘ　＋　ｉＹ
（つまり、Ｘ＝ｘ＋２、Ｙ＝ｙ）
と置いて、

｜ｚ＋４｜＋｜ｚ｜　＝　｜ｔ＋２｜＋｜ｔ－２｜　＜　８

√（（Ｘ＋２）^2　＋　Ｙ^2）　＋　√（（Ｘ－２）^2　＋　Ｙ^2）　＜　８

両辺を２乗
（Ｘ＋２）^2＋Ｙ^2　＋　（Ｘ－２）^2　＋　Ｙ^2　＋　２√｛（（Ｘ＋２）^2　＋　Ｙ^2）（（Ｘ－２）^2　＋　Ｙ^2）｝　＜　６４

２Ｘ^2　＋　８　＋　２Ｙ^2　＋　２√（Ｘ^4＋Ｙ^4＋１６　－８Ｘ^2＋８Ｙ^2＋２Ｘ^2Ｙ^2）　＜　６４
Ｘ^2　＋　Ｙ^2　＋　√（Ｘ^4＋Ｙ^4＋１６　－８Ｘ^2＋８Ｙ^2＋２Ｘ^2Ｙ^2）　＜　２８
√（Ｘ^4＋Ｙ^4＋１６　－８Ｘ^2＋８Ｙ^2＋２Ｘ^2Ｙ^2）　＜　２８　－　Ｘ^2　－　Ｙ^2

両辺を２乗
Ｘ^4＋Ｙ^4＋１６　－８Ｘ^2＋８Ｙ^2＋２Ｘ^2Ｙ^2　＜　２８^2＋Ｘ^4＋Ｙ^4　－ ５６Ｘ^2－５６Ｙ^2＋２Ｘ^2Ｙ^2
１６　－８Ｘ^2＋８Ｙ^2　＜　２８^2　－ ５６Ｘ^2－５６Ｙ^2
４８Ｘ^2　＋　６４Ｙ^2　＜　７６８
３Ｘ^2　＋　４Ｙ^2　＜　４８
３（ｘ＋２）^2　＋　４ｙ^2　＜　４８

楕円の式の形になりました。

計算に自信がないので、検算してください。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ありがとうございます！
方針としては間違ってなかったのですね。
ｚ　＝　ｔ－２
ｔ　＝　Ｘ　＋　ｉＹ
の置き換えは思いつきませんでした