limの問題の解き方を教えてください

質問

解き方がわからなくて困っています。

次の極限値f(a),f´(a)で表せ。ただし、a≠0、f´(a)≠0とする。

lim 1/h{f(a+h)/a+h-f(a-h)/a-h}
h→0

答えは
2/a^2{af´(a)-f(a)}です。

よろしくお願いします。

回答No.12

mister_moonlight · ベストアンサー

突き放すのも、ちょつと可哀想だから。。。。。ｗ

-{f(a-h)-f（a）}/h＝＋{f(a-h)-f（a）}/（-h）

お礼

理解できました。

ただのマイナスでくくってるだけなんですね。
教科書を見直せとのことでしたので
微分特有の変形かと思ってあせってました（汗

ほかの回答者さんの回答は高2の自分からしてみると辛いものでした。
ε-δ論法とかｗ（URL参照

馬鹿な自分にここまで付き合ってくださり、本当にありがとうございました。

回答No.11

mister_moonlight

言うべき事は全て言ってある、後は君次第。

何時までも、付き合ってられない。基本が出来てないようだから、教科書を復習したら良いだろう。

回答No.10

mister_moonlight

＞ーa{f(a-h)-f(a)}/（-h）ですが、なぜh ではなく、-hにしているのですか？勝手にマイナスにしてもよいのですか？

これは書き込みミスではない。ｗ

微分の定義だよ。-h＝kとしたら、{f(a＋k)-f(a)}/（k）になるだろう。従って、{　}の前は、-　が　＋　になるだろう。

お礼

-h=kとすると

lim -a{f(a＋k)-f(a)}/（k）
k→0

となるはずです。
すると、-af´(a)となるのではないですか？

回答No.9

htms42

#４です。
＞この式はさっき言ったことには、当てはまっていないような気がします。hが分母にないし、微分の式にはなっていないと思います。

ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)/ｘ
と考えると
［ｇ(ｘ＋ｈ)－ｇ(ｘ)]／ｈ＝[ｆ(ｘ＋ｈ)/(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)/ｘ]／ｈ
になるでしょう。

回答No.8

mister_moonlight

ん？　ごめん、よく見たら、書き込みミス。

（誤）a{f(a+h)-f（a）}-{f(a-h)-f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}

（正）a{f(a+h)-f（a）}-a{f(a-h)-f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}
　　aを抜かしてた。

お礼

そうでしたか。

＃1の一部抜粋です。

＞ここで、1/hを使うと、分子/h＝a{f(a+h)-f(a)}/hーa{f(a-h)-f(a)}/（-h）-{f(a+h)＋f(a-h)}　→　h→0から、a*f´(a)＋a*f´(a)-2f(a)＝2{f´(a)-f(a)}。‥‥(2)

ーa{f(a-h)-f(a)}/（-h）ですが、なぜh ではなく、-hにしているのですか？
勝手にマイナスにしてもよいのですか？

自分なりにhも-hも0に近づけて値は変わらないから。という理由を考えたのですが
やっぱり符号が変わってしまうのでだめだと思います。

回答No.7

info22

#2です。
A#2の補足質問の回答
>f(x)がx=aで不連続なら、この極限値は存在しませんよ。
微分係数（導関数）の定義式がそのことを含んでいます。
導関数は連続関数の中で考えている概念ですので、不連続関数（不連続点を含む関数）の不連続点では定義不可能です。
導関数の定義式で、不連続点では、分母のhをゼロにもっていっても、分子が不連続点ではゼロに収束しませんから、導関数（微分係数）が存在しえません。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/DefDifferentiation.htm#ThrmDifferentiateAndContinuity
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/DefDifferentiation.htm#top

なお、g(x)=f(x)/x(x≠0)がx=a(≠0)で連続関数であり、かつ右方微分係数
lim{g(a+h)-g(a)}/h=
h→0
lim{f(a+h)/(a+h)-f(a)/a}/h
h→0
と左方微分係数
lim{g(a)-g(a-h)}/h=
h→0
lim{f(a)/a-f(a-h)/(a-h)}/h
h→0
が一致する時、
g(x)=f(x)/xはx=aにおける微分係数
{f(x)/x}'(x=a)が存在します。
{f(x)/x}'=(1/x^2){xf'(x)-f(x)}ですから
{f(x)/x}'(x=a)＝(1/a^2){af'(a)-f(a)}
ですね。

質問の式では、この2倍になりますね。
lim 1/h{f(a+h)/a+h-f(a-h)/a-h}
h→0
=lim [{f(a+h)/(a+h)-f(a)/a}/h-{f(a)/a-f(a-h)/(a-h)}/h]
h→0
=lim [{f(a+h)/(a+h)-f(a)/a}/h+{f(a)/a-f(a-h)/(a-h)}/h]
h→0
=lim {f(a+h)/(a+h)-f(a)/a}/h}
h→0
+lim{f(a)/a-f(a-h)/(a-h)}/h]
h→0
=2{f(x)/x}'|_(x=a)
=2{f'(a)/a-f(a)/a^2}={2/(a^2)}{af'(a)-f(a)}

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/030ksk.html

お礼

回答者様はよほど優秀なのでしょうが、自分には理解できません…

途中まではわかったものの、やはり分からないところがあります。
このままでは回答者様にいつまでも迷惑をかけてしまいます^^;

もっとレベルアップした頃に、またこの問題に向き合って回答者様の回答が理解できるようになるよう頑張りますｗ

回答No.6

mister_moonlight

＞どうしてこうなるのでしょうか？

何でもかんでも人に聞かないで、少しは、自分で考えろよ。
同値変形だろう。

お礼

考えてるつもりです。

　a{f(a+h)-f（a）-f(a-h)＋f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}
＝a{f(a+h)-f（a）}-{f(a-h)-f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}

　a{f(a+h)-f（a）-f(a-h)＋f（a）}・・・（A）
＝a{f(a+h)-f（a）}-{f(a-h)-f（a）}・・・（B）

（A）より、af(a+h)-af(a)-af(a-h)+af(a)
（B）より、af(a+h)-ah(a)-f(a-h)+f(a)
となり、(A)≠(B)となりその式の変形は成立しないように思えます…

回答No.5

mister_moonlight

＞３行目の展開ですが　どのように展開しているのですか？
＞途中でf(a)が出てきているのはどうしてですか？

（a-h）*f(a+h)-（a+h）*f(a-h）＝a*f(a+h)-h*f(a+h)-a*f(a-h)-h*f(a-h)＝a{f(a+h)-f(a-h)}-h{f(a+h)＋f(a-h)}＝a{f(a+h)-f（a）-f(a-h)＋f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}＝a{f(a+h)-f（a）}-{f(a-h)-f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}　→　a{f(a+h)-f（a）}/h-{f(a-h)-f（a）}/（-h）-{f(a+h)＋f(a-h)}　→　ここで　h →0とすると　a*f´(a)＋a*f´(a)-f(a)-f(a)＝2{a*f´(a)-f(a)}。

お礼

途中式からの抜粋…

　a{f(a+h)-f（a）-f(a-h)＋f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}
＝a{f(a+h)-f（a）}-{f(a-h)-f（a）}-h{f(a+h)＋f(a-h)}

どうしてこうなるのでしょうか？

質問ばかりで本当にごめんなさい。

回答No.4

htms42

lim［ｆ(ｘ＋ｈ)/(ｘ+ｈ）－ｆ(ｘ－ｈ)/(ｘ－ｈ)］／ｈ
＝lim[ｆ(ｘ＋ｈ)/(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)/ｘ]/ｈ　＋　lim｛[ｆ(ｘ)/ｘ－ｆ(ｘ－ｈ)/(ｘ－ｈ)]/ｈ
ｌｉｍ［　］はどちらもｆ(ｘ)/ｘの微分の式です。
[ｆ(ｘ)/ｘ］’＝ｆ’(ｘ)/ｘ－ｆ(ｘ)/ｘ^2

合成関数の導関数を求める時にも
［ｆ(ｘ＋ｈ)/ｇ(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)］／ｈ
＝［ｆ(ｘ＊ｈ)/ｇ(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ＋ｈ)］／ｈ　＋　［ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)/(ｇ)］／ｈ
という変形をして計算をするはずです。
「ああ、あれと同じだ！」と思い当たるはずなんです。

お礼

上部の式の変形はわかるのですが、

＞ｌｉｍ［　］はどちらもｆ(ｘ)/ｘの微分の式です。
が、分かりません。

教科書には微分係数の求め方として、
lim{f(a+h)-f(a)}/h とあります。
h→0

これには、
＞＝lim[ｆ(ｘ＋ｈ)/(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)/ｘ]/ｈ　＋　lim｛[ｆ(ｘ)/ｘ－ｆ(ｘ－ｈ)/(ｘ－ｈ)]/ｈ

この式はさっき言ったことには、当てはまっていないような気がします。
hが分母にないし、微分の式にはなっていないと思います。

回答No.3

mister_moonlight

＞f(x)がx=aで不連続なら、この極限値は存在しませんよ。

相手は、高校数学。特に断りがない限り、連続として解釈しても問題ないだろうし、そんな点まで出題者は、求めていないだろう。

回答No.2

info22

前の質問のhirata1234さんですか？
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5148534.html

そうなら
ちゃんと回答者のアドバイスに対して補足でアドバイスに従ってやった解答などを書いてください。

新たに質問を起こすなら、回答者にそのことについて何らかのお礼の補足を書いて、質問を閉じてから、問題等のミス等を修正し、さらにあなたのやった解答の途中計算を書いた投稿をして下さい。

問題を書き換えてありますが、前投稿で指摘した極限値の存在条件に触れていないですね。
f(x)がx=aで不連続なら、この極限値は存在しませんよ。
>ただし、a≠0、f´(a)≠0とする
この条件はこの問題で必要でしょうか？

あなたのやった計算を補足に書いてください。
（答）があり、微分（微係数）の定義式（連続性が成り立つ関数について定義される）に当てはめて、あなたなりの解答を分かるところまで、補足に書いてください。行き詰っているならどこでどう行き詰っているかをお書きください。

補足

申し訳ありませんでした。

質問に追記をするという形で訂正したかったのですが
それができなかったのでこういうやり方をとりました。

回答のお礼に問題を書き換えるのもどうかと思いまして…

>f(x)がx=aで不連続なら、この極限値は存在しませんよ。

どこを見ればそれがわかりますか？