関数f(x)がx=aで微分可能のとき、、、

質問

lim f(a+h)-f(a-h)/h の極限値をf(a),f'(a)であらわせ。
h→0

という問題なのですが、hを何かに置き換えるということは分かるのですが、何に置き換えればよいのか、よくわかりません。
どなたかどう置き換えるか、なぜそう置き換えるかを教えていただけませんか？

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　お礼をありがとうございます。

＞ところで、微分の定義式から考えて
＞lim{f(a+5h)-f(a-3h)}/h
＞h→0
＞の場合は、h'=8hとするのでしょうか？
＞また、そうしたときにこの式を解いていくと
＞8f'(a-3h)というのが出てきたのですが、
＞3hはどこかで消しておかなければならないのでしょうか？

　ｈ’＝８ｈはよいと思いますよ。
　あとは、h＝h'/8　でｈをすべてｈ’に置き換えて、ｈ’→０で極限をとれば、ｈもｈ’も残らないはずです。
　以下に、h→0、h'→0 を省略して記します。

　　lim {f(a+5h)-f(a-3h)}/h
　＝lim { f(a+5h'/8) -f(a-3h'/8) }/(h'/8)
　＝8 lim { f(a+5h'/8) -f(a-3h'/8) }/h'　　←分子の区間幅と分母の区間幅が一緒になったことを確認。
　＝8 lim f'(a-3h'/8)
　＝８f'(a)

お礼

回答ありがとうございました。
おかげでよく理解することが出来ました＾＾

回答No.5

mmk2000

基本的なことを伺いますが
h→0のとき lim ｛f(a+h)-f(a)｝/h＝f'(a)
という定義が成り立つので
h→0のとき lim ｛f(a+h)-f(a)｝/h
＝lim ｛f(a+2h)-f(a)｝/2h
＝lim ｛f(a+3h)-f(a)｝/3h
・・・・
＝f'(a)
のように分母のhの形と分子のhの形が同じになればよいことはご存知でしょうか？
そう考えればlim ｛f(a+h)-f(a-h)｝/h
のf(a+h)の分子にf(a),分母にhが必要なことが分かり、f(a-h)の分子にf(a)、分母に-hが必要なことがわかります。帳尻をうまく合わせながら計算すると、
lim ｛f(a+h)-f(a-h)｝/h
＝lim ｛f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)｝/h・・・帳尻合わせのため-f(a)+f(a)をかませる。
＝lim ｛f(a+h)-f(a)｝/ｈ+lim｛f(a)-f(a-h)｝/h・・・２つに分ける
＝lim ｛f(a+h)-f(a)｝/ｈ-lim｛f(a-h)-f(a)｝/ｈ・・・定義の形へ
＝lim ｛f(a+h)-f(a)｝/ｈ+lim｛f(a-h)-f(a)｝/-h・・・分母と分子のhをあわせる
＝f'(a)+f'(a)=2f'(a)

これでいかがでしょう？

回答No.4

kkkk2222

＜本論の前に＞

極限の記号、limを使用しない方が判り良いのでは、

平均変化率

［Ｆ（ａ＋ｈ）－Ｆ（ａ）］／ｈ　、此のｈは何でも良いので、極端に書くと、

＊　　［Ｆ（ａ＋１００ｈ）－Ｆ（ａ）］／１００ｈ
＊　　［Ｆ（ａー５０ｈ）－Ｆ（ａ）］／（ー５０ｈ）　などなど。

ーーー
Ｐ＝［Ｆ（ａ＋ｈ）－Ｆ（ａーｈ）］／ｈ
＝［Ｆ（ａ＋ｈ）－Ｆ（ａ）＋Ｆ（ａ）ーＦ（ａーｈ）］／ｈ
＝【［Ｆ（ａ＋ｈ）－Ｆ（ａ）］／ｈ】＋【［Ｆ（ａ）ーＦ（ａーｈ）］／ｈ】

＝【［Ｆ（ａ＋ｈ）－Ｆ（ａ）］／ｈ】＋【［Ｆ（ａーｈ）ー［Ｆ（ａ）］／（ーｈ）】　（＃）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　　　　↑
ｈ→０　のとき、　Ｐ　→　Ｆ’（ａ）＋Ｆ’（ａ）＝２＊Ｆ’（ａ）
ーーー
もっと形式を合わせたいならば、後半の　ーｈ＝ｈ’ と置いて、
Ｐ＝【［Ｆ（ａ＋ｈ）－Ｆ（ａ）］／ｈ】＋【［Ｆ（ａ＋ｈ’）ー［Ｆ（ａ）］／ｈ’】
ｈ→０　のとき、ｈ’→０
Ｐ→２＊Ｆ’（ａ）
で、間違いではないけれど、異様な感じはします。

（＃）のままが、自然です。

ーーー

＜本論＞

＞＞lim{f(a+5h)-f(a-3h)}/h
＞＞h'=8h
＞＞8f'(a-3h)
＞＞3hは・・・。

どう置いてもＯＫですが、あとの処理に困らぬように変形します。
limは面倒なので、limがついていると思って下さい。

Ｐ＝［Ｆ（ａ＋５ｈ）－Ｆ（ａー３ｈ）］／ｈ
＝［Ｆ（ａ＋５ｈ）－Ｆ（ａ）＋Ｆ（ａ）ーＦ（ａー３ｈ）］／ｈ
＝【［Ｆ（ａ＋５ｈ）－Ｆ（ａ）］／ｈ】＋【［Ｆ（ａ）ーＦ（ａー３ｈ）］／ｈ】
＝【［Ｆ（ａ＋５ｈ）－Ｆ（ａ）］／ｈ】＋【［Ｆ（ａー３ｈ）ーＦ（ａ）］／（ーｈ）】

　　このままではマズイので、次のように変形します。

＝５【［Ｆ（ａ＋５ｈ）－Ｆ（ａ）］／５ｈ】＋３【［Ｆ（ａー３ｈ）ーＦ（ａ）］／３（－ｈ）】

　　前に、ｈは何でも良いと書いたのは、此の変形のための準備でした。

ｈ→０　のとき、
Ｐ→５＊Ｆ’（ａ）＋３＊Ｆ’（ａ）＝８＊Ｆ’（ａ）
ーーー

回答No.2

Mr_Holland

h→0を省略して書きます。
　　lim { f(a+h)-f(a-h) }/h
　＝lim [ {f(a+h)-f(a)} + {f(a)-f(a-h)} ]/h
　＝lim [ {f(a+h)-f(a)}/h + {f(a)-f(a-h)}/h ]
　＝lim {f(a+h)-f(a)}/h +lim {f(a)-f(a-h)}/h
　＝f'(a)+f'(a)
　＝2f'(a)

　もし、hを何かに置き換えるのでしたら、ｈ’＝２ｈ　とでもするのかな。
　　lim { f(a+h)-f(a-h) }/h
　＝lim { f(a+h'/2)-f(a-h'/2) }/(h'/2)
　＝2 lim { f(a+h'/2)-f(a-h'/2) }/h'
　＝2 f'(a)

　微分の定義式
　　f'(b)＝lim { f(x)-f(b) }/(x-b)
　　　　　　x→a
に帰着させるときは、分子の関数の中身の差 (x-b) が分母と一致していなければならないことに注意してください。（それがｈをｈ’に置き換える理由です。）

お礼

２つの説明とてもよく理解できました。
ところで、微分の定義式から考えて
lim{f(a+5h)-f(a-3h)}/h
h→0
の場合は、h'=8hとするのでしょうか？
また、そうしたときにこの式を解いていくと
8f'(a-3h)というのが出てきたのですが、
3hはどこかで消しておかなければならないのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

予測するんだ。

f(a + h) = f(a) + f'(a + θh)h 0 < θ < 1
f(a - h) = f(a) - f'(a - ψh)h 0 < ψ < 1

だから (f(a + h) - f(a - h))/h = 2(f'(a + θh) + f'(a - ψh)) で多分 2f'(a) だよね。

うーん。見えてきた見えてきた。

お礼

>> f(a+h)=f(a)+f'(a+θh)h0<θ<1
θはここではどういう意味ですか？
f'(a+θh)h0<θ<1　この式はどういう意味なんですか？

何度も質問をしてすみません；；