微分の問題

質問

微分の問題

(1) ※limはh→0とする。

lim｛f(a+h)-f(a-3h)｝/h

(2) ※limはx→aとする。

lim｛x^4・f(a)-a^4・f(x)｝/(x-a)

この2問が分からないので考え方を教えてください

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

極限の式を変形して、微分係数の定義に帰着させる問題は、
実用的な意義は低いが、高校数学ではよく出題される。
つまらない小技を使うだけなので、一回見たことがあれば、
類題を処理するのは易しい。
要は、□－△ = (□－○)－(△－○) という変形を使って、
微分係数の定義式の分子を作ればよいだけだ。

例えば、(2) は、分子を (x^4)・f(a) - (a^4)・f(x)
= { (x^4)・f(a) - (a^4)・f(a) } - { (x^4)・f(a) - (a^4)・f(a) }
と変形して、全体を二つの分数に分ければ…

真面目な応用としては、この小技は、
積の微分公式を証明するのに利用できる。

回答No.2

mister_moonlight

微分の定義さえ知ってれば、(1)は簡単に解けるだろうが、(2)はちょっと難しい。

そこで、x-a＝t　とすると、x→aからt→0.
x^4＝（a＋t）＾4を計算することになるが、“パスカルの三角形”を知ってれば簡単に展開できる。
知らなければ（知らなくても計算自体は出来るが）、“パスカルの三角形”で検索してみると良いだろう。
知っておくと、便利な事が多い。

回答No.1

mister_moonlight

丸投げは削除対象なので、ヒントだけ出しておく。

ちょつと変形に“慣れ”を必要とするが、2つの問題共に“微分の定義”に戻ると良い。