極限値をあらわす

質問

f(x)が微分可能なとき次の極限値をf(a),f ’(a)であらわす問題で

１、lim f(a+2h)-f(a) / h
　　h→∞
２、lim x^2・f(a)-a^2・f(x) / x-a
　　 x→a
の解き方を教えてください

A　１、2f ’(a)
2、2a・f(a)-a^2・f ’(a)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

１
2h=kとおけば
lim f(a+2h)-f(a) / h
h→∞
=lim f(a+k)-f(a) / (k/2)
k→∞
=2lim f(a+k)-f(a) / k
k→∞
=2f'(a)

２
lim {x^2・f(a)-a^2・f(x)} / (x-a)
x→a
=lim {x^2・f(a)-a^2・f(x)} / (x-a)
x→a
=lim {(x^2-a^2)f(a)-a^2・(f(x)-f(a))} / (x-a)
x→a
=lim {(x+a)(x-a)f(a)-a^2・(f(x)-f(a))} / (x-a)
x→a
=lim (x+a)(x-a)f(a) / (x-a)
x→a
-lim a^2・(f(x)-f(a)) / (x-a)
x→a
=lim (x+a)f(a)
x→a
-lim a^2・(f(x)-f(a)) / (x-a)
x→a
=(a+a)f(a)
-(a^2)lim (f(x)-f(a)) / (x-a)
x→a
=2a・f(a)-a^2・f'(a)

回答No.2

ereserve67

１．h→∞であるとf(a+2h)→f(∞)であるのでこれがどうなるかがわからないと極限がわかりません．おそらくh→0の間違いではないかと思います．そうであるとして回答します．

2h=kとおくと

{f(a+2h)-f(a)}/h={f(a+k)-f(a)}/(k/2)

=2{f(a+k)-f(a)}/k

h→0⇔k→0であるから極限値は

lim_{k→0}2{f(a+k)-f(a)}/k

=2lim_{k→0}{f(a+k)-f(a)}/k

=2f'(a)

２．x-a=hとおくと，

{x^2f(a)-a^2f(x)}/(x-a)

={(a+h)^2f(a)-a^2f(a+h)}/h

={(a^2+2ah+h^2)f(a)-a^2f(a+h)}/h

={-a^2{f(a+h)-f(a)}+h(2af(a)+hf(a))}/h

=-a^2{f(a+h)-f(a)}/h+2af(a)+hf(a)

x→a⇔h→0であるから極限値は

lim_{h→0}[-a^2{f(a+h)-f(a)}/h+2af(a)+hf(a)]

=-a^2f'(a)+2af(a)