微分の問題です

質問

全く意味が分からないです(T_T)
明日までにやらないといけないので
お願いします

(1)極限値lim{f(x+2h)-f(x)}/sinh
をf'(x)を用いて表せ。
limはh→0

(2)f'(0)=2であるとき、
極限値lim{f(2x)-f(-x)}/x
を求めよ。
limはx→0

わかりやすい方法お願いします(;_;)

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

基本は
lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)
この形に持っていくこと。文字が変わったり、xに数字が入ってもよし。

(1)
lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)}/sinh
これは上の式でhの変わりに2hが入ったものに変形します。
lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)}/sinh=lim[h→0][{f(x+2h)-f(x)}/(2h)](2h/sinh)
このような積の式の極限はそれぞれの極限の積に置き換える。
(与式)=[lim[h→0]{f(x+2h)-f(x)}/(2h)][lim[h→0]2h/sinh]
一つ目の極限はf'(x),二つ目の式は教科書にも書いてある極限の式lim[h→0]sinh/h=1を使います。

(2)
冒頭に挙げた式において、"x"を"0"にかえ、hの代わりに"x"を入れた式を考えると
lim[x→0]{f(0+x)-f(0)}/x=lim[x→0]{f(x)-f(0)}/x=f'(0)
となります。このような形に変形できれば良いのですが、ぱっと見どこにもf(0)などない。
そこで強引にf(0)を登場させます。
lim[x→0]{f(2x)-f(-x)}/x=lim[x→0]{f(2x)-f(0)+f(0)-f(-x)}/x
=lim[x→0]{f(2x)-f(0)}/x-lim[x→0]{f(-x)-f(0)}/x
前の項については分母が2xになるように変形、後ろの項は分母が-xになるように変形すればよい。
(与式)=[lim[x→0]{f(2x)-f(0)}/(2x)]*2-[lim[x→0]{f(-x)-f(0)}/(-x)]*(-1)
これでそれそれからf'(0)の式が得られます。

お礼

めちゃくちゃわかりやすいです(-^〇^-)
答えは2f'(x)と６で合ってますか(;_;)?

回答No.1

IveQA

(1)分母分子に2hを掛けてみたら。
　微分の定義式と極限の公式を利用。
(2)分子に-f(0)+f(0)を加えてみたら。
　f(2x)=f(0+2x),f(-x)=f(0-x)とみることがポイント！

お礼

ありがとうございます(-^〇^-)