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lim[x→∞] F(x)が極限値を持つ条件

数学の参考書に lim[x→∞] F(x)が極限値を持つならば、lim[x→∞] F(x)/x=0が必要 と書いてありましたが、その理由がわかりません。 例えば、lim[x→∞] {(1-a)x -b}=0のためには、lim[x→∞] {(1-a)x -b}/x=0が必要 と書いてありました。いきなり関数をxで割り算をしたものの極限をとるのは何故なのでしょうか? どうぞよろしくお願いします。

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回答No.2

x→∞としたときのF(x)とxのふるまいを比べたいからです。 もし、lim[x→∞] F(x)/x≠0とすると lim[x→∞] F(x)/x=a (a≠0)となり、 x→∞で F(x) = ax くらいになります。 axは当然無限大に発散するのでF(x)も極限は持ちません。 したがって、極限値を持つなら最低限lim[x→∞] F(x)/x=0が成り立っている 必要があります。 ※ただし、逆が成り立つとは限りません。 例えば、log x は発散しますが、 lim[x→∞] log x /x=0です。 この問題のように、関数の増え方などを調べるときに F(x)/ log x とか F(x)/ x^2 といった形で極限を考えることは良くあります。 数学や物理で、F(x)がだいたいx^2くらいで増えていくとか、 別の関数に比べると増え方が少ないので、xが大きくなったら無視できるか等 関数のおおよその性質を知りたい場面はたくさん出てきます。

ganbaruzo12
質問者

お礼

詳しい回答、どうもありがとうございました。理解が深まりました。

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その他の回答 (1)

回答No.1

xは発散するから、例えば f/xがa(≠0)に収束するなら fはaxに近ずくということだから 発散しますよね。 直感的な理解はこれでよいと思いますが いかがでしょう?

ganbaruzo12
質問者

お礼

早々に回答を下さり、どうもありがとうございました。助かりました。

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