limの問題の解き方を教えてください

質問

解き方がわからなくて困っています。

次の極限値f(a),f´(a)で表せ。ただし、a≠0、f´(a)≠0とする。

lim 1/h{f(a+h)/a+h-f(a-h)/a-h}
h→0

答えは
2/a^2{af´(a)-f(a)}です。

よろしくお願いします。

回答No.12

mister_moonlight · ベストアンサー

突き放すのも、ちょつと可哀想だから。。。。。ｗ

-{f(a-h)-f（a）}/h＝＋{f(a-h)-f（a）}/（-h）

お礼

理解できました。

ただのマイナスでくくってるだけなんですね。
教科書を見直せとのことでしたので
微分特有の変形かと思ってあせってました（汗

ほかの回答者さんの回答は高2の自分からしてみると辛いものでした。
ε-δ論法とかｗ（URL参照

馬鹿な自分にここまで付き合ってくださり、本当にありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

何れにしても、微分の定義に戻る問題だが、大変に書き込みにくい。

f(a+h)/（a+h）-f(a-h)/（a-h）＝（分子）/（a+h）*（a-h）とする。
h→0の時、分母＝（a+h）*（a-h）→　a^2　‥‥(1)
分子＝（a-h）*f(a+h)-（a+h）*f(a-h)＝展開して＝a{f(a+h)-f(a)}ーa{f(a-h)-f(a)}-h*{f(a+h)＋f(a-h)}。
ここで、1/hを使うと、分子/h＝a{f(a+h)-f(a)}/hーa{f(a-h)-f(a)}/（-h）-{f(a+h)＋f(a-h)}　→　h→0から、a*f´(a)＋a*f´(a)-2f(a)＝2{f´(a)-f(a)}。‥‥(2)
よって、lim 1/h{f(a+h)/a+h-f(a-h)/a-h}＝2/a^2{af´(a)-f(a)}。
h→0

お礼

回答ありがとうございます。

分からないところとして、３行目の展開ですが
どのように展開しているのですか？

また、途中でf(a)が出てきているのはどうしてですか？