内積って、、、

質問

今高一で、ベクトルを習ったのですが、内積って結局何をやりたいんですか。

回答No.2

19283746 · ベストアンサー

あまり深く考えることはないと思います。内積はAベクトルとBベクトルの積って程度に考えておけばいいです。ベクトルの計算のときにはこう考えれば納得できますし、テストで失点することはありません。あなたが文系ならなおさら気にすることはありません。

もしあなたが理系なら少し深いところまで理解する必要があります。、参考URLの所で理解を深めてください。（実はベクトルの内積は単なる積ではないのです。）

参考URL：

http://www.jttk.zaq.ne.jp/phenomenon/math/17.htm

お礼

ありがとうございます。URLとても参考になりました。ぼくは理系なのでなおさらでした

回答No.6

tukamo

内積が面積を表わす…とかいうことはないです。とくに意味はないとみていいでしょう。
　むしろその時々でいろいろな道具になるものだと考えてください。
高校生の数学では、主に二つのベクトルの内積を行った結果、平行or直交であるという関係を調べられる道具などとしてつかわれますかね。

お礼

ありがとうございます。深く考えず、道具として使い方をマスターしていきます

回答No.5

noname#101199

う～ん…高１の方ですよね…どこまで話せばいいのか…。
とりあえず最初に堅苦しい難しい話をしましょう。理解できなくていいです。

いきなり突飛なことを聞きますが、長さとはなんですか・・・？
長さのない空間って考えられますか？？

とりあえず、高校と大学では、内積に対するスタンスが正反対です。
高校では長さを使って内積を定義していますよね。
本来は、内積を使って初めてベクトル空間に長さという概念が導入されます。
この空間を内積空間と呼びます。

高校範囲では最初からベクトル空間に長さが導入されているので、内積の重要性がわかりませんが、本当は内積を導入して初めて長さが生まれてくるのです。

言い方を変えると、数学の幾何的な意味としては、和と差を実数倍"のみ"で定義されているベクトルに、内積を導入することで、大きさや距離といった"測量"に関するものが導入されます。内積とシュワルツの不等式を用いて角度の概念も導入されていきます。

とりあえずまだまだ堅苦しいことは言えますが、高校生には不要かもしれないのでここまでにしましょう。
とりあえずは、a↑・a↑＝|a↑|^2、と高校では当たり前のように教えられると思いますが、これが内積の本質的意味を含んでいるんですね。

が、こんなこと高校生にはどーでもいいですよね。
私も工学部なんで、私にとってもどーでもいい話です。
次に高校生でもわかるであろうイメージを書きます。こっちの方が重要かもしれません。

正射影ってわかりますか？
個人的には、幾何的にイメージできるベクトルの範囲であれば、正射影した方向の成分だと考えるのがお勧めです。イメージがわきやすい気がします。
図を使って解説できないので、高校の教科書に書いてある図をよく見て考えてみてください。考え方を書いておきます。
内積はa*b*cosですよね。これを(a*cos)*bとみてみてください。
a*cosっていうのは、aベクトルのb方向の成分ですよね？
こんな感じで内積は、もう一方のベクトルに正射影した成分を考えることができます。内積をとるベクトルが単位ベクトルだったら、完全に正射影成分ですね。
こう考えれば、物理でいう、内積＝仕事　というのも当たり前の話ですね。（高１は物理まだやってないかも＾＾；）

また、めっちゃアバウトにいうと、内積は，
「２つのベクトルがどのくらい似ているのか。どれくらい近いベクトルなのか」
を表しています。
cosの項からわかると思いますが、２つのベクトルが近い方向（０度）を向いていたら大きくなって、全然関係ない方向（90度）を向いていたら小さくなってしまいますよね。
こんな感じで、"似ている度合い"を表せます。

わかりにくかったらごめんなさい。

回答No.4

kamiyasiro

大学の教養で線形代数学という行列の出てくる学問を学ぶんですけど、
そのとき、n×n行列の直交性という性質を調べるときに内積という基礎知識を使います。（#3さんも書いてみえます）
X'Xという式ですが、これがまさに内積を計算しているのです。
ダッシュは転置行列のことで、X'XはX転置Xという呼び方をします。

実は線形代数学もまた基礎学問でして、工学分野の振動，物質の変形，さらには応用統計学などにも利用されます。（応用統計学にも利用されるということは文系でも必要であるので、さかのぼって内積が数Iに出てくるのでしょうね。）

そして、技術者として企業で開発設計に従事していても、微分積分と、行列に関する知識は、どうしても必要な素養になります。

高校の数学は、「結局何をやりたいんですか?」　という部分が無いために興味を持ちにくいですが、決して無駄なことは教えていませんので、しっかり学んで欲しいと思います。

回答No.3

info22

高校や大学の数学や物理や工学（機械工学、電気工学、その他）で内積を頻繁に使います。

例えば、質点をそれに働く力のベクトルと移動方向に沿った線ベクトルの内積をA点からB点まで積分すれば、A点からB点まで質点になされた仕事になります。
力が一定で移動方向が直線上なら、移動ベクトルと力ベクトルの内積が仕事になります。

数学では、２直線のそれぞれの方向ベクトルの内積＝0が2直線の直交条件になります。

今は、内積をしっかり覚えておいて下さい。

回答No.1

kabaokaba

どうしても知りたいなら，
教科書をまず読めよ．
それから問題をとけよ．
すぐ分かる．

＃内積がないというのは
＃図形を測ることができないのとほとんど同じ
＃高校のベクトルだと内積の意義は余弦定理の意義とほぼ同じ
＃余弦定理を知らないなら，三平方の定理の
＃直角ではない三角形への拡張だと思えばいい
＃＃まだまだほかにも意味はある