内積関連

質問

空間ベクトルa（≠0ベクトル）に対し、内積(a,x)=k (k：実数)のとき、x全体はどのようになるのでしょう？
という問題がわかりません。

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

いや, 「原点からの距離」を使っちゃうと結局絶対値が外せないからダメ.
(a, x) = k と言ってるんだから x = ta をそこに代入.

お礼

あ、そうですね。よくわかりました。

回答No.5

jmh

> ｘ全体はどのようになるのでしょう？
>
それは、ａ＝（ｐ，ｑ，ｒ）とすると、Ｘ＝｛ｘ｜（ａ，ｘ）＝ｋ｝＝｛（ｕ，ｖ，ｗ）｜ｐｕ＋ｑｖ＋ｒｗ＝ｋ｝になります（Ｘはベクトルの集合です）。とりあえず、これで良いですか？

お礼

回答ありがとうございます。
よく見ると確かに平面の式ですね。わかりました。

回答No.4

Tacosan

大前提として, これが「ある平面」を表すことは認識できないとダメなんだけど, そこは大丈夫だったのかな?
で, なんだけど, 与えられた条件を満たす平面は唯一ですが #3 で与えられる平面は一般に 2つあるので, 答えとして良いものではありません.
じゃあどうするかというと, #2 のように通る点を指定します. そのため, 点x = ta が当該平面上にあると仮定して t の値を決めることにします. 条件から t = k/(a, a) なので, 点 ka/(a, a) が平面上にあります.

お礼

＋の方向と-の方向ということですね。
回答ありがとうございました。

すみません、「条件から t = k/(a, a)」の、条件ってのは原点からの距離が|k|/|a|ってことですか？

回答No.3

OurSQL

先ほど答えた者ですが、訂正箇所があります。
問題文には p という文字は与えられていないので、答えは

法線ベクトルが vector a で、原点からの距離が (k の絶対値)/(vector a の大きさ) である平面

となります。

お礼

大変わかりやすい解説ありがとうございました。
法線が(p,q,r)になるというのは多分どこかで習ったかと思うのですが、忘れていました。
(p/k,0,0)を通る⇔原点からの距離|k|/|a|は若干しっくりこない部分もありますが、でも納得はできます。
因みにですが、k=0でも問題はないですよね？

回答No.2

OurSQL

vector a = (p, q, r), vector x = (x, y, z) とおきましょう。

質問者さんは、空間における平面の方程式は、すでに学ばれているでしょうか。
もし既習であれば、(p, q, r) が (0, 0, 0) に等しくないとき、x, y, z の１次方程式

p x + q y + r z = k

が平面を表し、その法線ベクトルが (p, q, r) であることはご存知だと思います。

上の１次方程式は、vector a と vector x の内積が k に等しいという条件そのものです。
よって、vector x の全体は、法線ベクトルが vector a である平面となります。
しかし、これだけでは不十分なので、この平面が通る点を１つ求めておきます。
p, q, r の３つすべてが 0 に等しくなることはないので、仮に p が 0 に等しくないとすれば、この平面は (k/p, 0, 0) という点を通ることになります。

回答No.1

jmh

空間ベクトルａ＝（ｐ，ｑ，ｒ）とｘ＝（ｕ，ｖ，ｗ）の内積がｋであるということを表す式を書いてください。

補足

pu+qv+rw=kですね。これから何も見えてこないのですが・・・
もう少し解説お願いします。