内積について

質問

1辺の長さが4の正三角形ABCにおいて、頂点Bから辺CAへ垂線を引いた時の交点をDとします。この時次の内積を求めてください。
（1）ベクトルCA*ベクトルCB
（2）ベクトルAC*ベクトルBD
（3）ベクトルAB*ベクトルBD

特に（2）（3）がわかりません。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

バクトルを表す→は省略します。
内積の定義から、二つのベクトルａとｂの内積は
ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓΘ
で与えられます。Θは両ベクトルがなす角です。

（１）
二つのベクトルの大きさはいずれも正三角形の一辺の長さに
等しいので４であり、両者のなす角は６０°なので、求める内積は
４＊４＊ｃｏｓ６０°

（２）
ベクトルＡＣとベクトルＢＤは直交しているのでｃｏｓΘ＝０です。
よって
ＡＣ・ＢＤ＝０

（３）
ＢＤを平行移動して、ＢがＡに一致するようにします。このときＤが
到達する点をＥとすると、四角形ＡＢＤＥは平行四辺形です。
また、ＡＥ＝ＢＤなので、
ＡＢ・ＢＤ＝ＡＢ・ＡＥ
ＡＥの大きさはＢＤと同じで２√３であり、角ＥＡＢ＝１５０°なので
ＡＢ・ＢＤ＝４＊２√３＊ｃｏｓ１５０°

お礼

回答ありがとうございます。補足に付け足します。ベクトルBDの値は三平方の定理から求めると思いますが4√3ではないでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。
(2)は2つのベクトルが直交しており、2つのベクトルの値は関係なく、内積は0になりますが、ベクトルBDの値を求めることはできるのでしょうか？

回答No.2

gohtraw

ベクトルBDの大きさは△ABDについて三平方を使うか、
｜AB|＊ｓｉｎ６０°　とするかでしょうね。

｜ＡＢ｜＝４、ｓｉｎ６０°＝√３／２　ですから、
｜ＢＤ｜＝２√３
ですね。
当然三平方を使っても同じ結果になります。

お礼

もう一度計算し直したら上手く計算できました。回答ありがとうございました。