※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：内積の定義について）
内積の定義とは？
このQ&Aのポイント
内積の定義とは、2つのベクトルの積を求めるものです。
内積の一般的な定義は、ベクトルの大きさと方向から求める幾何的なものです。
内積は分配法則が成り立ち、特殊な例として直交デカルト座標があります。
２つのベクトルについての内積の定義として、以下のようなものがあります。
A=(A1,A2,A3),B=(B1,B2,B3) 内積 ⇒ A.B=A1B1+A2B2+A3B3
これは一般的な内積の定義ではなく、基底ベクトルがお互いに直交しているという特殊事情の場合のみに限定だと思います。斜交座標では基底ベクトルはお互いの直交性がないので上記のような内積にはならないと思います。
そうすると、内積の一般的な定義はどうなると考えるべきでしょうか。
A.B=|A||B|cos という幾何的なものでしょうか。また、内積は分配法則が成り立つというのは自然とそうなるものでしょうか。
すなわち、A=(B+C) でA.D=B.D+C.Dという式が成立するということですが。
以下のようなことを考えています。
直交デカルト座標でものを考えてきた人間が曲線座標（特に直交性を仮定しない）で考える場合、内積などが再定義される必要がある場合がある。一般曲線座標での定義の方が一般的で、その特殊な例として直交デカルト座標がある、すなわち、一般曲線座標の定義だけしっかり覚えておけばよい。(これは極論で、演算のスピードアップなどの実用面としては冒頭の内積の計算方法の説明でもよいだろうとは思いますが。）
いかがでしょうか。
お礼
ありがとうございました。 内積の演算がが幾何と結びついているとすると、定義と性質がゴチャゴチャになりそうなので質問しました。