写像について

質問

問題
Ａ：有限集合
写像f:Ａ→Ａとする。写像ｆが単射ならば全射、また全射ならば単射である事を示せ。

＜自解＞
写像ｆが単射ならば
a_1,a_2∈Ａ、f(a_1)=f(a_2)⇒a_1=a_2（単射の命題の対偶）
写像ｆはＡからＡへの写像より
∀ｙ∈Ａ、∃a∈Ａ、ｓｔ　ｙ＝ｆ(a)∈Ａ
故に、写像ｆが単射ならば全射。
また、
写像ｆが全射ならば
∀ｙ∈Ａ、∃a∈Ａ、ｓｔ　ｙ＝ｆ(a)∈Ａ
…
ここから単射をどう示したらいいのかわからなくなりました。

全体的に証明できていないと思います。

どう示すべきか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

そうです。例の命題は、Ａが有限集合ならば成立します。
そこがポイントですから、
証明には、Ａが有限集合であるという条件を使わねば。
そのためには、「有限集合」の定義を確認せねば。
よく知られている定義は…

定義：無限集合でない集合を有限集合という。
定義：集合Ａと、その真部分集合（部分集合であって、Ａ自身ではないもの）
　　　が等濃度であるとき、Ａは無限集合であるという。
定義：集合ＡからＢへの全単射が存在するとき、ＡとＢは等濃度であるという。

前の質問で貴方が補足したように「有限集合：集合の元の個数が有限個」
と定義したければ、それに先立って、「個数が有限個」とは何であるか
を定義せねば。できますか？

前回の No.3 を、少し丁寧に書くと…

集合ＡからＡへの、単射かつ非全射な写像ｆが存在すると仮定する。
ｆが非全射だから、ｆによるＡの像ｆ(Ａ)はＡの真部分集合である。
また、ｆはＡからｆ(Ａ)への全単射である。よって、定義により、
Ａは無限集合である。

これの対偶をとって、
Ａが有限集合であれば、ＡからＡへの単射かつ非全射な写像は存在しない。
すなわち、ＡからＡへの単射は全射である。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4129817.html

回答No.1

kup3kup3

>写像ｆが単射ならば
>故に、写像ｆが単射ならば全射
のところは残念ながら証明になっていません。
集合Aは有限集合なので、n個の要素からなり、
A={a_1,a_2,・・・,a_n}としてみましょう。
「fの行く先もＡである」がまずポイント
（１）前半のヒント：写像ｆが単射ということは、
「異なる要素は、異なる要素に写される」という
ことですから、「f(a_1),f(a_2),・・・,f(a_n)は
「Ａに含まれる」全て異なる要素」　となる。
（２）後半のヒント：写像f:Ａ→Ａは全射なので、
Aの各要素の原像は、Ａの部分集合で
空集合Φではありません。つまり
f^(-1)(a_1)≠Φ、f^(-1)(a_2)≠Φ，・・・，f^(-1)(a_n)≠Φです。
そこで、
f^(-1)(a_1)、f^(-1)(a_2)，・・・，f^(-1)(a_n)から
順番に一つずつＡの要素　b_1,b_2，・・・，b_nをとって
行きましょう。(有限集合だからいつか終わる)
ここで、「例えばb_1=b_2となることがある」かどうかをよーく
考えてみて下さい。