写像について

質問

問題
写像f:Ａ→Ａとする。写像ｆが単射ならば全射、また全射ならば単射である事を示せ。

＜自解＞
写像ｆが単射ならば
a_1,a_2∈Ａ、f(a_1)=f(a_2)⇒a_1=a_2（単射の命題の対偶）
写像ｆはＡからＡへの写像より
∀ｙ∈Ａ、∃a∈Ａ、ｓｔ　ｙ＝ｆ(a)∈Ａ
故に、写像ｆが単射ならば全射。
また、
写像ｆが全射ならば
∀ｙ∈Ａ、∃a∈Ａ、ｓｔ　ｙ＝ｆ(a)∈Ａ
…
ここから単射をどう示したらいいのかわからなくなりました。

単射から全射の証明も、不十分な気がします。

どう示すべきか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

回答No.6

HANANOKEIJ

ノートに、集合A,Bを２個書いて、集合Aから集合Bへの写像をかいてみてください。要素は、１０個未満でかまいません。単射の定義に従った写像の例、全射の定義に従った写像の例を２，３個、実際に書いてみるのです。全射だけど、単射でない写像、単射だけど全射でない写像もつくってみてください。写像は、f,g,m.nなど、function,mappingなどの頭文字で適当に名前をつけてください。
数学の証明でも、問題を解くのでも、必ず、何かを操作します。特に、集合と写像の入り口で、全射、単射、全単射、有限集合、無限集合など、概念をつかむときには、具体的な集合をいじることです。あるいは、そういう入門的な本で、思考実験を表現してあるものを参考にして、実際に手で書いて、考えてください。集合Aから集合Aへの写像では、何がなんだかわからなくなります。自分の顔は、鏡に写さないとわかりません。A→Bは、A(自分の顔)をB(鏡に映った自分の顔)に写像することで、Aの様子(内部の要素)を調べようというのです。A→Aは、なにもしないで、頭で自分の顔を想像して、なにも見えない、どうなっているんだ、と悩んでいるようです。

回答No.5

koko_u_

>有限集合：集合の元の個数が有限個
それではダメだ。
ANo.3 氏が指摘したように「個数が有限」という概念を数学的に定式化する必要があります。
定義が明確になれば、それが写像の全射性、単射性と密接に関連していることを知るでしょう。

回答No.4

koko_u_

>Ａが有限集合で、
>ｆがＡからＡ自身への写像なら、成立はするのでは？？
そんなコトは質問文には何も書かれていない。
書かれていないことに対して回答することは不可能だ。

有限集合である場合、ANo.3 氏が指摘しているように「その定義」をどうするかがまず大きな問題です。
有限集合の定義を補足にどうぞ。

補足

申し訳ありません。
有限集合：集合の元の個数が有限個

回答No.3

arrysthmia

その命題は、集合Ａが有限集合であることと同値です。

ｆ が単射ならば、終域を制限した ｆ：Ａ→ｆ(Ａ) は全単射です。
ｆ(Ａ) は Ａ の部分集合ですが、もし ｆ(Ａ)≠Ａ であれば、
Ａ とその真部分集合との間に全単射が存在したことになります。
これは、無限集合の定義そのものです。

ｆ が全射であれば、Ａ の各元 a に対する原像 { x | f(x) = a }
から各１個づつの元を集めて集合Ｄを作ると、
ＤはＡの部分集合であって、ｆ：Ｄ→Ａ は全単射です。
上記同様、Ｄ≠Ａであれば、Ａは無限集合となります。

お礼

真部分集合について学んでいました。
有難うございます。

補足

「真部分集合」については、まだ学んでいないので、できるだけ証明には使用を控えたいのですが、全体的にもう少し砕いて頂けますか？？

回答No.2

noname#221368

Ａが有限次元のベクトル空間か何かで、fには線形変換とかの条件は付いてませんか？

補足

Aが有限集合です。ｆには条件がありません。

回答No.1

koko_u_

そもそも成立しないでしょう？ N を自然数の集合とすれば

f : N -> N ( n -> 2n )

は単射だけど、全射ではない。

f : N -> N ( n -> [n/2] )

は全射だけど、単射ではない。([x] は x を超えない最大の整数)

補足

Ａが有限集合で、
ｆがＡからＡ自身への写像なら、成立はするのでは？？