内積が同じ=図形的な意味は？

質問

よろしくお願いします。内積が同じときて、あたまに浮かばないといけない図形的な関係はあるでしょうか？

例えば、四面体OABCにおいて内積a・b、b・c、c・aが等しい時なにか図形的な性質はありますか？

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

内積の値が同じというだけでは、図形的な関係は出てこないと思います。
a・b = |a||b| cosθ
x・y = |x||y| cosφ
右辺の積が等しいというだけです。
たとえば、θ=φとしても「2辺」の長さの積が等しいだけで、図形的な関係は出てきません。

四面体OABCについてですが、この場合には図形的な性質が出てきます。
a・b = c・a より、a・(b-c) = 0となります。
ベクトル b-cは辺BCを表すことになるので、辺OAと辺BCは垂直であることがわかります。
（もちろん、ねじれの位置の関係にありますので交わりはしませんが）
これを繰り返すと、点Oを通る辺と向かい合う辺とが垂直であることがわかります。