三角形の形と内積

質問

abc=0のときの場合分けがわからないので質問します。
問題は、
三角形　△ABCにおいて、→CA・→AB=a,→AB・→BC=b,→BC・→CA=c　とおく、ここで・はベクトルの内積を表す。 abc=0のとき、△ABCはどのような三角形になるか　という問題です。
解説では、a=0のときCA⊥AB　∠A=90°同様に、b=0のとき∠B=90°　c=0のとき∠C=90°ゆえに直角三角形。
となっていますが、疑問はa=b=c=0やa=c=0(b≠0)　を考えないのはなぜかというものです。自分なりに考えると、
a=c=0では、∠A=90°かつ∠C=90°で三角形にならないためと考えました。自分の考えが間違っていたら、なぜabc=0のとき、a=b=c=0やa=c=0(b≠0)を考えないかを解説してください。お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

三角形の内角だから、90°はあるとしても
たかだか1個。
よって、内積が2個以上0になることはありえない。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

kiha181-tubasa

＞自分なりに考えると、a=c=0では、∠A=90°かつ∠C=90°で三角形にならないためと考えました。……①

そのとおりです！！
（三角形の内角の和が180°だから，残りの内角は90°未満ですものね）

＞なぜabc=0のとき、a=b=c=0やa=c=0(b≠0)を考えないか

参考書か問題集の模範解答なら単なる手抜きでしょう。
質問者が考えているように
abc=0⇔a,b,cのうち少なくとも一つは0である
ですから
a=b=c=0やa=c=0(b≠0)なども，述べるべきでしょう。
①のように，その可能性を消去するのが正しい態度です。
他の可能性（a=b=0,b=c=0,a=b=c=0）の場合も，①と同様の理由であり得ないと断れば一番礼儀正しいと言えます。

お礼

お返事ありがとうございます。