内積がわからない

質問

内積が具体的に何を指しているのかわかりません。
→a・→b＝→|a|→|b|cosθ
図形的にどこを指しているんですか？

あと、教科書で何回読んでも理解不能なところがあったので教えてください。

内積→a・→b＝→|a|→|b|cosθは次のようにしてみることもできる。
→a＝→OA、→b＝→OBのなす角をθとし、
点Bから直線OAに垂線BB´をおろすと
→a・→b＝OA×OBcosθは次のようになる。

0°≦θ＜90°のとき
→a・→b＝OA×OB´

90°≦θ＜180°のとき
→a・→b＝－OA×OB´

図がないのでわかりずらいかもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.4

Goswami · ベストアンサー

高校のベクトルの授業で出てくる内積の説明の仕方は非常に曖昧で、何のために内積を定義しているのかわかりづらいですよね。ベクトルの初学者に説明するにはそのような記述方法しかないのですが、ここでは実際に内積の利用方法の１つを説明したいと思います。

　まずは座標平面上の好きな位置に好きな大きさ、向きのベクトルaを書いてみます。適当に書いたためこのベクトルaのx成分、ｙ成分（終点から始点を引いた座標のこと）は全くわからないはずです。ここで、x成分が1,y成分が0のベクトルe1を定義します。そして、内積a・e1を定義どうりに計算すると　　
a・e1=|a||e1|cosθ=|a|*1*cosθ=|a|*cosθ

となります。これは最初は気づきにくいのですが、aのx成分を表しています。つまり、ベクトルaをx方向とy方向に分解させたときのx方向のベクトルの大きさのことです。逆にx成分が0y成分が1のベクトルe2を定義し、aとe2の内積を計算結果がaのy成分です。

　以上の内容を実際に紙に書いてやってみるとイメージがわくと思います。座標同士を直接かけていく内積の計算も合わせてしてみるとわかってくると思います。

　では、e1,e2ではなく一般のベクトルbだったらどうするんだ?という疑問がわくかもしれませんが、b＝|b|*（大きさ１でｂと平行なベクトル）と考えれば、内積=ベクトルaのb方向の成分＊|b|だとわかると思います。

　説明がへたくそで申し訳ないです。ベクトルの内積と言う概念は非常に大事で高校では座標平面状の幾何ベクトルの内積しか扱いませんが実は関数の内積なども定義されています。というのも、実は関数もベクトルであるんです。これは蛇足なのでぜんぜん気にしなくて良いのですが、内積は本当に大事な概念なので幾何的なイメージと代数学（計算）的なイメージをリンクできるまで、簡単な教科書の内積の計算問題の結果を座標平面状に書いて見ると良いと思います。

お礼

＞a・e1=|a||e1|cosθ=|a|*1*cosθ=|a|*cosθ
となります。これは最初は気づきにくいのですが、aのx成分を表しています。つまり、ベクトルaをx方向とy方向に分解させたときのx方向のベクトルの大きさのことです。逆にx成分が0y成分が1のベクトルe2を定義し、aとe2の内積を計算結果がaのy成分です。

ああ！そうですね！今すごいよくわかって思わず興奮しました！
本当にありがとうございます！毎回書いてみようと思います！

回答No.5

kkkk2222

www 2515 様

貴殿のＤＡＴＡを拝見しました。難関校を目指している事も判明しました。＜繊細＞な方である事も判明しました。

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本論
＞＞内積が具体的に何を指しているのかわかりません。

以下ベクトルは　ａ、ｂ　と矢印を使わずに表記します。

＞＞a・b＝|a||b|cosθ、図形的にどこを指しているんですか
＞＞教科書で何回読んでも理解不能な・・・
以下数行、貴殿が御記述の通りです。

当方も、図形的意味を何度も思考しては、すぐに忘れてしまいます。

問題の本質は、の図形的意味ではないと推測します。
貴殿は既に、＜図形的意味＞の導出可能です。
＜図形的意味＞をこれ以上詮索しても何も出てきません。

貴殿が、不可解に思う原因は、
＜a・b＝|a||b|cosθ＞が、余りにも＜天下り的＞または＜唐突＞なため、＜内積＞を扱う際に＜何か不安な感覚が起きる＞と推測します。高等学校の＜天下り的＞な式は、＜内積＞と＜ＨＣ＞が代表です。＜ＨＣ＞は数学Ｃの内容のためご存知ないかも知れません。

貴殿の＜不可解さ＞を除去するためには、

＃１　ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθ

＃２　ａ＝（Ａ１、Ａ２）、ｂ＝（Ｂ１、Ｂ２）
　　　　　　　　ａ・ｂ＝Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２　
＃２’　ａ＝（Ａ１、Ａ２、Ａ３）、ｂ＝（Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３）
　　　　　　　　ａ・ｂ＝Ａ１Ｂ１＋Ａ２Ｂ２＋Ａ３Ｂ３

＃２、＃２’は自然な式です。
この式を＜内積＞の＜定義＞として＜体内＞に取り入れる方が得策であると思います。しかる後、ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθを＜手段＞として使用するのが良い様です。

＜a・b＝|a||b|cosθ＞が原因で、ベクトル全体を＜不明＞と感ずる生徒は、あとをたちません。＜定義＞は＃１でも＃２、＃２’どちらでもＯＫです。
教科書が、不可解な＃１を採用した理由は、極最近書きましたので、ＬＩＮＫします。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2913714.html
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以上が本論ですが、もうすこし記述します。

ベクトルの問題はふたつに分けると、
＃２１＜チェバ・メネララウスを代表とする、比のみの問題＞数学では＜アファイン空間＞と呼ばれます。
＃２２＜大きさ（長さ）、角度を含む問題です＞数学では＜ユークリッド空間＞＜計量空間＞などと呼ばれます。

＃２２の計算で　ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθ、が不可欠である事は書くまでもありません。cosθを求める際、この式または余弦定理を用います。
ーーー
稀にa・b＝|a||b|cosθの図形的意味が必要になる場合があります。代表的なのは原点と直線（平面）の距離を求める際に使用される、
ｐ・ｅ＝ｈ　です（詳細は略しますが、実に美しいです）。古くは、ヘッセの標準形とよばれました。
終わります。

ＧＯＯＤ　ＬＵＣＫ
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お礼

＞貴殿が、不可解に思う原因は、
＜a・b＝|a||b|cosθ＞が、余りにも＜天下り的＞または＜唐突＞なため、＜内積＞を扱う際に＜何か不安な感覚が起きる＞と推測します

全くもってその通りです。どこからか急にポンって出てきて理解しづらいです；

＞この式を＜内積＞の＜定義＞として＜体内＞に取り入れる方が得策であると思います。しかる後、ａ・ｂ＝|a|・|b| cosθを＜手段＞として使用するのが良い様です。

最終的に理解できなかったらそうします・・・。ありがとうございました。

回答No.3

sanori

３年ほど前に他の質問へ私が回答した内容から抜粋します。

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言葉で直感的に説明するのがわりと好きです。

内積とは、２つのベクトル、すなわち、男のベクトルくんと女のベクトルちゃんとの相性。
ベクトル同士が同じ方向を向いていればいるほど、値が大きくなる。

・同じ方向を向いていれば、２人は助け合い、内積は２人のベクトルの大きさを掛け算したものと同じ。
・互いに全く関係のない、あさっての方向（＝直角）を向いていれば、破局。内積はゼロ。
・ケンカして逆方向を向いていれば、内積はマイナスの値。

そんでもって、斜め方向だったら、まあまあの関係とか微妙な関係とかになって、内積は中途半端な値になるわけです。

（中略）

特に、電気・力学等の物理関係では、三角関数や内積は大活躍します。我々が住んでいる世界の法則を説明したり、ものづくりをしたりするのに不可欠なんです。

なお、内積のほかに、もうひとつ、外積というのもありますよ。
外積とは、２つのベクトルの頂点同士を結んで３角形を作ったときの、その３角形の面積の２倍です。
これも内積同様、大活躍します。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa879812.html

お礼

すごく面白いですね！
これだとパッと答えがわかって便利です（＾＾）
外積は習ってないですね。新課程で削除されたのでしょうか。。
ありがとうございました。

回答No.2

ht1914

積とはかけ算ですね。
普通の数字の場合ａとｂの積はａ・ｂです。２と３なら２×３＝６です。このａ、ｂは普通数字一つを表しています。
２つの数字が組を作っている場合はどうなるでしょう。（ａ１，ａ２）、（ｂ１，ｂ２）です。数字一つの場合と区別する意味で
ａ→＝（ａ１，ａ２）、ｂ→＝（ｂ１，ｂ２）と書きます。これがベクトルです。
この２つのベクトルのかけ算はどうなるでしょう。数字が４つ出てきますから組み合わせの可能性が色々あります。その中でａ１ｂ１＋ａ２ｂ２もそのかけ算の結果の一つです。これを「内積」と呼んでいます。|→a|・|→b|cosθと同じになります。
ベクトルを矢印で表したとします。２つの矢印が揃っていれば長さをそのまま掛け合わせればいいです。長さを１つの数字で考えるとこれは普通の数字のかけ算と一致します。方向がずれているときはどうするのでしょう。方向が揃っているときとずれているときが連続的につながる必要があります。方向の揃っている分（成分）を抜き出してかけたらこの条件を満たします。どちらの式でもこの内容を表しています。
物理で出てくる力の働きで仕事を考えるときなどに必要です。力×移動＝仕事です。「力の方向と移動方向とがずれていれば仕事はどうなるでしょう」という問です。移動に有効な力を抜き出してかけ算をするということになります。

「積」は分かりますが「内」が分かりませんね。「外積」というのがありますのでそれとの対比でしょうが「内」、「外」のセットで考えた理由までは判りません。

お礼

＞中でａ１ｂ１＋ａ２ｂ２もそのかけ算の結果の一つです。これを「内積」と呼んでいます。|→a|・|→b|cosθと同じになります。

この式はきちんと導き方が示されているので納得できるんですが、やはりどうしても|→a|・|→b|cosθがどこから出てきたかわからないため困ってしまいます；概念的なものもいまいち理解できてないですし。
もうちょい自分で調べてみます。
参考になりました。

回答No.1

ojisan7

>内積が具体的に何を指しているのかわかりません。図形的にどこを指しているんですか？

内積はベクトルではなく、スカラーですから、図形的にはどこも指してはいません。ところで、
→a・→b＝→|a|→|b|cosθ
ではなく、
→a・→b＝|→a|・|→b|cosθ
とすべきです。

>内積→a・→b＝→|a|→|b|cosθは次のようにしてみることもできる。・・・

図がないですが、非常に分かりやすい説明です。書かれているとおりです。特に問題はないと思います。これ以上かみ砕いた説明は不可能のような気がします。内積に限らず、数学的な概念を理解するには、その概念がどのように使われるのかを理解することが大切です。そのためには、同じ箇所を何回も読むこと（そのことも大切ですが）よりも、その部分は読み流して、先に進むことも必要です。そして、前に戻って、同じ箇所をもう一度読めば、その概念が明瞭になってくることでしょう。数学の勉強方法はこのようにするものなのです。がんばってくださいね。

お礼

>→a・→b＝→|a|→|b|cosθ
ではなく、
→a・→b＝|→a|・|→b|cosθ

以後改めます。。。

＞同じ箇所を何回も読むこと（そのことも大切ですが）よりも、その部分は読み流して、先に進むことも必要です。そして、前に戻って、同じ箇所をもう一度読めば、その概念が明瞭になってくることでしょう。数学の勉強方法はこのようにするものなのです。がんばってくださいね。

一通りベクトルをやったのですが、内積がいまだによくわからないです；；
もう一回全体を通して考えてみます。アドバイスありがとうございました。