内積って何？

質問

外積ってビジュアル的にも量的にも分かりやすいですよね。
ａ×ｂは
１）ａともｂとも直交する
２）ａ，ｂ，ａ×ｂは右手系をなす
３）長さはａとｂの張る平行四辺形の面積に等しい
とってもシンプルで親しみやすい。

一方内積はというと
ａ=(a1, a2, a3), ｂ=(b1, b2, b3)
とすると
（ａ，ｂ）= a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
だとか、ａとｂの交角をθとして
（ａ，ｂ） = |ａ||ｂ|cosθ
だとか、数式ばかりが並んでビジュアル的につかみにくい。

これはしょうがないんですかね？
外積はビジュアル的、内積は数式的って納得するしかないのでしょうか？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

ビジュアル的に言うなら，（ａ，ｂ）は，
（ベクトルａのベクトルｂ方向への正射影の長さ）×（ベクトルｂの長さ）
というより仕方がないんじゃないでしょうか．
上の表現でａとｂを入れ換えても同じことです
図で描くなら

　　　　　　　／│
　　　　　　／　│
　　　　ａ／　　│
　　　　／　　　│
　　　／　　　　│
　　／　　　　　│　　ｂ
　Ａ━━━━━━Ｂ───

で，ＡＢがベクトルａのベクトルｂ方向への正射影です．

brogie さんの例なら
(仕事)＝(力Ｆの大きさ)×(動いた長さｓのＦ方向成分)
　　　＝(力Ｆのｓ方向の成分)×(動いた長さｓ)
ですね．

taropoo さんはこんなことは当然ご存知でしょうから，
回答になっているかどうか分かりませんが，
ビジュアル的というとこれくらいしか思いつきません．

お礼

> （ベクトルａのベクトルｂ方向への正射影の長さ）×（ベクトルｂの長さ）
当然考えましたが、これだといまいちビジュアル的じゃないのでａをπ/2回転させてａ'としてａ'とｂの張る平行四辺形の面積とかこじつけてましたが、やっぱりシンプル性に欠けていて悩んでいました。
正射影をπ/2起こして長方形の面積とか。
今一感性に訴えてこないんですよね。

> taropoo さんはこんなことは当然ご存知でしょうから，
そこが。もちろん知ってはいましたが内積と結びついていなかったんですよ。
いや、以前は知っていたけど最近物理に触れたことがなかったので
忘れてしまっていたのかもしれません。

補足

（お礼の後に書いてます。）
brogieさんの例が新鮮に感じられて感覚的に分かった気になりましたが
数学でのａ，ｂをいちいち力と動いた長さに置き換えて内積を捉えるのもちょっと無理があるかなーと思い始めました。

siegmundさんに
> ビジュアル的というとこれくらいしか思いつきません．
と太鼓判を押していただけると、内積をビジュアル的に感じ様としてもせいぜいこれくらいなんだなと諦めがつきます。
ありがとうございました。

回答No.2

brogie

内積は
物体に力Fでｓだけ移動したら、その内積を作り

仕事W　＝　F・ｓ ＝ Fscosθ

外積は

力のモーメントM　＝　Fｘｓ　　

このように、物理関係では非常によく使われます。

お礼

なるほど、言われてみれば確かにそうですね。

そうするとベクトル「ａ，ｂの共同作業の効果」みたいなビジュアル的な意味合いがつけられそうですね。

とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#598

余弦定理より
AB^2=OA^2+OB^2-2OA・OBcosθ
これに対応するベクトルａ，ｂに対して、
｜ａ－ｂ｜^2＝｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2－２ａ・ｂ

この2つの等式が同じであれば後々計算面で楽になるから、
ａ・ｂ＝OA・OBcosθ
としてしまおうよ、というのが私の考えですが・・・

お礼

僕、質問の中でミスしてますね。
> （ａ，ｂ） = |ａ||ｂ|cosθ
は
> （ａ，ｂ） = |ａ||ｂ|sinθ
の間違いでした。

訂正してお詫び申し上げます。

補足

それに該当するのが行列式でしょう。

つまりａ=(a,c)，ｂ=(b,d)（横に書いていますが縦行列だと思ってください。）
として行列Ａを
(a b)
(c d)
とした時のＡの行列式は
|Ａ| = det(ａ，ｂ）= |ad - bc| = |ａ||ｂ|cosθ

これだと確かにａ，ｂの張る平行四辺形の面積と言うビジュアルな意味合いが出てきますが、
今は内積の話をしているので。