余弦定理と内積

質問

余弦定理の一般的な公式は

ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃ・ｃｏｓθ

と表されますが、なぜピタゴラスの定理（直角三角形）に
－２ｂｃ・ｃｏｓθ
を加える必要があるのでしょうか？

また、
ｂｃ・ｃｏｓθ
だけみるとこれは

＜内積＞：|ａ||ｂ|cosθ

とも見て取れる気がします。（あくまで僕個人の意見なんですが）
もしかして余弦定理と内積の公式というのは関係性があるんでしょうか？

そもそも内積の存在意義自体、僕は理解できていません。
僕は文系で物理のスカラーというものを知らないのでそういう人でも分かるような説明があるならば非常にありがたいです。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

△ABCにおいて、BC=AC-AB（矢印は省略。BC,AC,ABはベクトルを表すこ
ととする）であり、両辺どうしの内積をとると、
BC・BC=(AC-AB)・(AC-AB)=AC・AC-2AB・AC+AB・AB
これより、
|BC|^2=|AC|^2-2|AB||AC|cos∠BAC+|AB|^2
となります。
∠BAC=90°のときは、cos∠BAC=0なので、
|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2
となって、これはピタゴラスの定理ですね。

お礼

おお！めちゃめちゃしっくり来ました！！！