線形空間 内積

質問

複素数を要素とするｎ次正方行列のなす空間を
Ｍｎ（Ｃ）で表す。このとき、Ａ、Ｂ∈Ｍｎ（Ｃ）に対して、（Ａ，Ｂ）＝Ｔｒ（ＡＢ＾＊）とおくと（・、・）が内積であるのは何故ですか。

回答No.2

keyguy · ベストアンサー

(2),(3),(4)は明らか
(1)の半分は明らか
(1)の残りについて
(A,A)=0はA・A^*=0と同じ
A・A^*のi行i列はAのi列の成分の絶対値2乗和であるから
Aのi行成分はすべて０でなければならないことがわかる
他の行についても同じだから
結局Aの全成分が0でなければならないことがわかる

回答No.1

keyguy

αを複素数、AとBとCを線形空間の元としたとき
(・,・)が内積であるための条件は
（１）（A,A)=0⇔A=0
（２）(A+B,C)=(A,C)+(B,C)
（３）(B,A)=(A,B)^*
（４）(α・A,B)=α・(A,B)