球面積を極座標で求めるやり方

質問

http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/faraday.htm#hon-8a
上記URLを参照してください。

ピンクの球の中にある緑色の長方形の底辺がrsinθdφで長さがrdθで、長方形の面積を求めています。

ここで疑問なんですが、この底辺の求め方はどうやるのでしょうか？
P(rsinθ,0,φ)、P'(rsinθ,0,φ+dφ)でPP'間の距離を求めるには、
PP'=｛rsinθ^2 + rsinθ^2 - 2r^(2)cos(φ+dφ - φ)｝^(1/2)

だと思ったのですが、思うように出来ません。どうか詳しく教えてください。自分は化学科であり高校の頃の極座標を僅かに覚えている程度です。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
角度の単位は度数法（1回転の角度が360°）と弧度法（1回転の角度が2π[rad]=[ラジアン]）がありますね。
微積分では弧度法の角度が使われます。
弧度法では
弧度法角度φ[rad]=(円弧の長さ)/(半径）で定義されています。
半径1の円周の長さは2πですね。
この円周の長さ2πを円周1周の角度とするのが弧度法の角度の定義になっていて、その角度の単位として[rad]が定められています。
従って、弧度法では
(円弧の長さ)＝（半径）x(弧度法の角度)…(■)
との関係が成立します。

極座標に限らず、弧度法では
(■)の関係にあります。
A#1に書いたように
(■)の式の(半径)として
>|OP|=r*sinθ

(■)の式の弧度法の微小角度として
> dφ (単位は[rad])
を宛てはめると
(円弧の長さPP'）は（■)の式から
円弧PP'=(r*sinθ)dφ
と求まりますね。

お礼

とても親切な回答ありがとうございます。なるほど、これはかなり分かりやすいです。丁寧に解説してくれたおかげで理解することが出来ました！

回答No.3

info22

#1、#2です。
A#2の補足です。
微小角度では、円弧PP'の長さを2点PP'間の距離PP'として通常使います。

お礼

回答ありがとうございます。助かります！

回答No.1

info22

>　P(rsinθ,0,φ)、P'(rsinθ,0,φ+dφ)
この座標は間違いです。
球の半径rにsinθをかけたものが
|OP|=r*sinθ
|OP|を半径として、dφをかけると円弧の長さPP'となります。
円弧PP'=(r*sinθ)dφ

お礼

ありがとうございます。dφは角度の概念だと思っていましたが、極座標では距離と見なすのですか？