積分

質問

もう一度教えてください。
座標平面において、連立方程式
●【(x＾2)/3】＋【(y＾2)/2】≦1
●y≦√(2x)
●y≧0

の面積が直線y=axで二等分されているとき、定数aの値の求めかたを教えてください。

式(A),(B)から、点P,P'の座標は、次のように求め。
点P（ (√3)/2,(√6)/2）、 点P'（ (√3)/2,0）
面積OPAの面積
S1=π/6まで理解できました。
楕円：(x^2)/3+(y^2)/2＝1　と直線：y＝ax　の交点のうち、y≧0のものを点Qとし、そこからx軸に下ろした垂線の足を点Q'とすると、点Q,Q'の座標は、次のように求め。
　　点Q（√{6/(3a^2+2)},a√{6/(3a^2+2)}）、点Q'（√{6/(3a^2+2)},0）
までは理解できました

　（扇形PP'A　の面積）求め方が分かりません。

x＝√{6/(3a^2+2)}　のとき　
　　　cosθ＝√{2/(3a^2+2)}
　　　ｓinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/(3a^2+2)
　　　　＝(√3)a/(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）
について教えてください
cos,sinがどうやって求められたのか分かりません

積分の範囲はθ=α→0と表されるのでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞x＝√{6/(3a^2+2)}　のとき　
＞　　　cosθ＝√{2/(3a^2+2)}
＞　　　ｓinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/(3a^2+2)
＞　　　　＝(√3)a/(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）
＞について教えてください
＞cos,sinがどうやって求められたのか分かりません

　ごめんなさい。
　sinθの式に誤記がありました。正しくは、次のようになります。（分母に√記号を付け忘れました。)
　混乱させてしまって申し訳ない。

(正)　　　ｓinθ＝±{1-(cosθ)^2}＝±(√3)a/√(3a^2+2)
(正)　　　　　　＝(√3)a/√(3a^2+2)　　（∵0≦θ≦π/2）

　なお、念のため、導出過程をきちんと書いておきます。

　積分の変数変換で、ｘ＝√3cosθとおいたと思いますが、cosθの値は、これを使って求めます。
　　x＝√{6/(3a^2+2)}
　⇔√3cosθ＝√{6/(3a^2+2)}
　∴cosθ＝√{2/(3a^2+2)}　　・・・・（A) 　←両辺を√3で割ってます。

　また、sinθは、公式: (sinθ)^2 +(cosθ)^2＝1　を使って求めます。
　　(sinθ)^2 +(cosθ)^2＝1
　⇔(sinθ)^2 ＝1－(cosθ)^2
　⇔sinθ ＝±√{ 1－(cosθ)^2 }　　・・・・（B)

　ここで、cosθの値は、式（A)で求められているので、この値を式（B)に代入します。
　　sinθ ＝±√{ 1－(cosθ)^2 }
　　　　　＝±√[ 1－(√{2/(3a^2+2)})^2 ]
　　　　　＝±√[ 1－{2/(3a^2+2)} ]
　　　　　＝±√[ {(3a^2+2)－2}/(3a^2+2) ]　　←ルートの中身を(3a^2+2)で通分。
　　　　　＝±√[ (3a^2)/(3a^2+2) ]
　　　　　＝±a√[ 3/(3a^2+2) ]
　　　　　＝±(√3)a/√(3a^2+2)

　ここで、θの範囲を　0≦θ≦π/2　と限定する（変数変換のところで制限してありますが)と、sinθ ≧０ なので、複号（±）が外れてプラスだけになり、sinθが次のように確定します。
　∴sinθ＝(√3)a/√(3a^2+2)　　・・・・・・（C)

＞積分の範囲はθ=α→0と表されるのでしょうか？

　式（A)と（C)を満たすθをαとおけば、積分範囲は、θ=α→0　になります。
　この範囲は、元々ｘでの積分範囲：ｘ=√{6/(3a^2+2)} → √3　に対応しています。
　（ｘ＝√{6/(3a^2+2)} のとき、θ＝α、
　　ｘ＝√3のとき、θ＝０　）

　なお、人のことは言えないませんが、
＞　（扇形PP'A　の面積）求め方が分かりません。
　これは、「（扇形QQ'A　の面積）」の誤りですよね。
　念のため、他の回答者のことを考えて、記しておきます。

補足

最後までなんとか解けました。
ありがとうございます。
覚えるまで何回もこの問題を問いでいきたいと思います。
ありがとうございました。