四角形の座標

質問

自由度の点から、理論的には４辺の長さとひとつの内角がわかれば四角形の座標を求めることができるはずなのですが、計算することができませんでした。

４辺の長さを時計回りにa, b, c, dとし、dとaの間の角度をθ、dを底辺・その中点に原点を置きますと、
頂点の座標は(d/2, 0), (-d/2, 0), (-d/2+a*cosθ, a*sinθ)と、この3つまでは求めることができたのですが、力量不足から残りのひとつを計算することができませんでした。

条件が不足しているため、最後の座標は計算できないのでしょうか？
脳内でこの図形を変形できないため、そんなことはないと信じているのですが…
最後の座標について教えてください。

回答No.5

stomachman

添付図の点Pを中心に半径bの円、点Qを中心に半径cの円を描けば、それらの円の交点が求める頂点の候補。だから二つの円の方程式を連立して解けば良いってことになります。しかし、図のようにいろんな場合があるから、それだけじゃ落第です。（さて、脳内ではどこまでお考えになったでしょうか？）

[1] 2通りの四角形ができる。（二つの円の連立方程式が異なる2つの実解を持つ。）
[2] 四角形ができない。（二つの円の連立方程式が実解を持たない。）
[3] 四角形ができない。（二つの円の連立方程式が実解を持たない。）
[4] 二つの円が接している。四角形ができずに三角形になっちゃう。（二つの円の連立方程式がひとつの重解を持つ。）
[5] 二つの円が接している。四角形ができない。（二つの円の連立方程式がひとつの重解を持つ。）
[6] 1通りの四角形ができる。（二つの円の連立方程式が異なる2つの実解を持つが、そのうちひとつが既存の辺や頂点の上にある。）
[7] 1通りの四角形ができ、また自己交差のある四辺形(赤)が1通りできる。（二つの円の連立方程式が異なる2つの実解を持つ。）
[8] 2通りの四角形ができるが、一方(赤)は辺の順番が反時計回りになってしまう。（二つの円の連立方程式が異なる2つの実解を持つ。）

回答No.4

spring135

#2です。

＃3のいうC1',C2'は題意をはき違えています。

＞４辺の長さを時計回りにa, b, c, dとし

となっているのでC1',C2'はc,dをとりかえてできるので題意に外れます。

従ってC1、C2が存在するのは確かです。

これは2つの四辺形が確定することを言っているのであって、その中のどちらをとるかは別の次元の話です。

これは＃2で載せた方程式がxまたはyの2次方程式になって2つの実数解があることと対応しており、

方程式論的には解が不確定というのではなく、2つあるということになっていることに対応します。

回答No.3

info222_

頂点の座標をD(d/2, 0), A(-d/2, 0), B(-d/2+a*cosθ, a*sinθ)とすると
θ=∠ＢＡＤとなります。
△BADは２辺a=AB,d=DAときょう角θが与えられていると確定します。
BD=√(a^2+d^2-2adcosθ)
対角線BDと辺b=BC, c=CDが確定すると
対角線BDについて対称な位置Ｃ１,C2に頂点Cの候補C1,C2がとれます(△BC1D、△BC2Dは合同で対角線BDに対称となります)。　さらに、対角線BDの垂直２等分線に対してそれぞれC1, C2の対称点C1', C2'の位置も頂点Cの候補点がとれます。

つまり、四角形ABCDとして凸四角形ABC1DとABC1'Dと凹四角形ABC2DとABC2'Dの４通りが存在します。
△BCDの∠BCDをφ(0°<φ<180°)とすると余弦定理より
cosφ=(b^2+c^2-BD^2)/(2bc)=(b^2+c^2-a^2-d^2+2adcosθ))/(2bc)

四角形ＡＢＣＤの内角∠Cは
凸四角形ABC1DとABC1'Dでは　∠C=φ(<180°)
凹四角形ABC2DとABC2'では　∠C=360-φ(>180°)
となります。
なお、題意より四角形ABCDが凹四角形の場合について、辺ADに対して頂点BとCが同じ側に位置する条件を考慮しないとねじれ四角形となってしまいます。

以上の理由から頂点Cが１通りに確定しないので
問題に頂点Cの４つの頂点候補C1,C1',C2,C2' を１つに絞る何らかの条件が付加されないと
四角形ＡＢＣＤのもう１つの頂点Cの座標が確定できません。

回答No.2

spring135

頂点の名前を付けます。

P(d/2, 0),Q(-d/2, 0),R(-d/2+a*cosθ, a*sinθ)

残りの頂点S(b,cによってはさまれる。）が求まればよい。

作図するときはPを中心とし、半径cの円C1と、Rを中心とし、半径bの円C2の交点としてSが決まります。

よってC1,C2の交点を計算すればよい。

C1: (x-d/2)^2+y^2=c^2

C2: (x+d/2-acosθ)^2+(y-a*sinθ)^2=b^2

これらを連立してx,yを出せばS(x,y)が確定します。計算を楽しんでください。

回答No.1

Tacosan

b と c が使われていないので, それを使うべく連立方程式をたてればいけるはず. ただし, 一般には 2つの四角形 (1つは凸, もう 1つは凹) ができるんじゃないかな.