球の極座標を利用した体積の求め方について

質問

初めて質問させていただきます、よろしくお願いします．

ここからの質問内容は一部こちらのURLを参照しながら説明いたしますので、御覧になりながらお読みになっていただけると分かりやすいかと思います．
http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/juusekibun.html

球の体積を、極座標を利用した求め方について調べましたところ
球座標上においた点P(r, θ, φ) における微小体積(dV)の表し方が、

dV=r^{2}sinθdrdθdφ

と表されておりました．

ここで疑問なのですが、点PRの距離rdθと点PSの距離rsinθdφについて...

θとφはπで表される角度ですが
πとは、直径が１である円の、円周の長さの値です．
ならば、点PRの距離は直径2rに、θを掛けた2rdθで
コレと同じく、点PSについても、2rsinθdφなのではないかと思ったのですが
この考えは間違っているのでしょうか．よろしくお願い致します．

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

＞点PRの距離は直径2rに、θを掛けた2rdθで

これが間違っています。円弧の長さは【半径】×角度(ラジアン)です。
ここを直径と間違えているために因子2がよけいに出てきているだけです。

＞πとは、直径が１である円の、円周の長さの値です．

これは間違っていませんが、円を一周した角度が2πである事を踏まえると

2πは【半径】が1である円(単位円)の円周の長さ

と覚えておいた方が間違いにくいかと思います。この方がラジアンの定義

1ラジアンは円弧の長さが半径に等しくなる角度
＝単位円(半径が1である円)上の弧の長さが１になる角度

とも整合性があります。

お礼

回答有難うございます．

分かりやすい解説をありがとうございました．
私の認識が間違ってたようです．
>2πは【半径】が1である円(単位円)の円周の長さ
このご説明のとおりに計算すると、とても納得がいきました．
この度はありがとうございました・

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

＞ならば、点PRの距離は直径2rに、θを掛けた2rdθで
半径：rの円において中心角がθとなる円弧の長さは、rθです。
円周は中心角が 2πですから、2π×rで円周の長さは 2πrになります。

ですから、半径：rで中心角：dθの円弧の長さは、r dθで合っています。

＞θとφはπで表される角度ですが
＞πとは、直径が１である円の、円周の長さの値です．
これも、半径：1/2、中心角：2πと考えればいいわけです。

お礼

分かりやすいご説明をありがとうございました．
>半径：rの円において中心角がθとなる円弧の長さは、rθです。
この認識がなかったことが今回の疑問につながったようです．
有難うございます．