球面上の距離について

質問

球面上に与えられた2点の最短距離（大円距離）を求めるには球の中心とその2点で作られる2つの線分間の角度(rad)で求め、球の径との積を取れば求まると思います。これは、2点間に紐のような巻尺をあてて目いっぱい引張って測った長さとも言えると思います。

一方、直交曲線座標系の１つである球面座標でのベクトルA(=A1eθ+A2eφ)の長さの2乗は以下の様に表示されます。eθ,eφはそれぞれ、球面上での経度θ（東西）、緯度φ(南北)方向の基底ベクトルです。そのベクトルAの自分自身との内積は、

A・A=A1A1(eθ・eθ)+2A1A2(eθ・eφ)+A2A2(eφ・eφ)

となります。ここで、座標の直交性から、(eθ・eφ)=0となります。ゼロとならないのは一般曲線座標とか斜交座標などです。そうしますと、

A・A=A1A1(eθ・eθ)+A2A2(eφ・eφ)

x=Rcosφcosθ, y=Rcosφcosθ,z=Rsinφ　(Rは球の半径）
という関係から、具体的に基底ベクトル(eθ、eφ)を求めて、代入すると、

A・A=(A1Rcosφ)^2+(A2R)^2となります。（(eθ・eθ)=0も確かめられます。）

この式はAの（経度方向距離^2+緯度方向距離^2）となり、3平方の定理みたいになっています。これは冒頭で示した大円距離と一致しないと思います。具体的に式を求めるときはもっと複雑な式となるはずです。

このような展開のどこに間違いがあるでしょうか。基底ベクトルが空間的に変化することが考慮されていないことが問題のように思いますが。

回答No.5

ojisan7

>以下の2点間の差で定義したベクトルAは同じですが、明らかにベクトルの内容は異なると思います。

曲面上で、異なる２点間のベクトルを単純に比較することはできません。異なる２点のベクトルApとAqが等しいということの定義が必要ですね。さらにいえば、平行移動の定義です。曲線に沿ってベクトルを平行移動するには、平行移動の定義が必要なわけです。

>どこで基底ベクトルを定義するかも分からないわけですね

動標構ともいいますが、曲面上では、基底ベクトルは一般的には、各点で定義されるものです。もっと分かりやすく言えば、曲面上の各点の接平面の基底ベクトルを考えます。そして、各点の接平面を関連づけるのが「接続」という幾何学的な基本概念になります。

お礼

回答有難うございました。

微分幾何学とかその先のリーマン幾何学、さらに多様体などに広がっていくようなのでこの辺りに留めたいと思います。

回答No.4

ojisan7

球面上の２点間の最短距離は２点を結ぶ大円弧（測地線）の長さです。これについては、普通は球面三角法を使いますが、これは、当然、経度・緯度の直角座標を使っても求めことが可能です。（経度・緯度の座標表示は地球儀を見るまでもなく、直角座標です。）しかし、球面上の曲線の長さを求めるには、大円で考えるのは適切ではありません。曲面上の曲線の測地的曲率は必ずしもゼロではありませんから、このことは当然です。たとえば、緯線の測地的曲率はゼロではありませんよね。
質問者さんはベクトルＡの長さを求める計算を試みているようですが。その式はベクトルＡが微小量である場合に限り正しい式です。ベクトルが微小量であるという条件下ではこの式は長さを求めるのに、大円の距離の式よりも正しい結果を与えます。しかしベクトルＡ（この用語はちょっとあいまいですね、ベクトル場とか、曲線の接線ベクトルとかいった方がいいかも知れません）が微小量でない場合にはこの式は使えません。このことの理由は、質問者さんが指摘しているように「基底ベクトルが空間的に変化することが考慮されていない」ということにあります。

お礼

回答有難うございます。

以下の2点間の差で定義したベクトルAは同じですが、明らかにベクトルの内容は異なると思います。
低緯度：(30,30)-(20,20)=(10,10)=A=10eθ+10eφ
高緯度：(80,80)-(70,70)=(10,10)=A=10eθ+10eφ
基底ベクトルが空間的に一様だったら、全く同一となりますが、低緯度と高緯度では様子が全く違うので同じ内容にはなりませんし、どこで基底ベクトルを定義するかも分からないわけですね。このような表現そのものが成立していないとも言えそうです。

回答No.3

yokkun831

>A・A=A1A1(eθ・eθ)+A2A2(eφ・eφ)
これが成り立つのは，Aの大きさが無限小の場合に限ります。

>x=Rcosφcosθ, y=Rcosφcosθ,z=Rsinφ　(Rは球の半径）
>A・A=(A1Rcosφ)^2+(A2R)^2
球面上の無限小変位(dx,dy)に対して
dx=Rcosφ・dθ，dy=Rdφとなりますから，
dr・dr = dx^2 + dy^2 = (Rcosφ)^2・dθ^2 + R^2・dφ^2
ですね？

有限の長さの「距離」については，これを積分しなければなりませんが…
>基底ベクトルが空間的に変化することが考慮されていないことが問題のように思いますが。
まさにおっしゃるとおりです。

お礼

回答有難うございます。

なるほど。基底ベクトルの大きさを考える時、ベクトルの内積を取りますが、そのときの計算にも用います。（曲線座標系の場合、接線ベクトル（基底と平行なベクトル）の大きさが１とは限らず、まず大きさhを求めて接線ベクトルをその大きさが除して長さ１の基底ベクトルとします。そのhがいわゆるスケールファクターですね。）

以上のような議論だと曲線座標系の任意のベクトルの大きさ（すなわち曲面上のベクトルの長さ）も計算できるのかなと思ったのですが、そんなに単純ではないようですね。

回答No.2

debukuro

直交するといったって経度線は大圏だが緯度線は赤道を除いて小円なのに漸長図では無理やり直線で表現している
だから緯度線と経度線は直交するとはいえない

お礼

回答有難うございます。
>緯度線と経度線は直交するとはいえない
私はどうしても直交しているという風にしか見えません。球面上の緯度線、経度線の接線の直交という意味です。２つの曲線が直交するとは結局、接線の直交だと思います。

x=Rcosφcosθ,y=Rcosφsinθ,z=Rsinφ ←元発言にミスプリあり(Rは球の半径）θ:経度、φ:緯度です。
従って、
eθ=(-Rcosφsinθ,Rcosφcosθ,0) ;θ方向接線ベクトル
eφ=(-Rsinφcosθ,-Rsinφsinθ,Rcosφ) ;φ方向接線ベクトル
よって(eθ・eφ)=0 (内積)
という意味において直交していると確認されます。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞球面上での経度θ（東西）、緯度φ(南北)方向の基底ベクトル
＞座標の直交性

この辺りが怪しい。

緯度経度の座標が直交するのは「球面をメルカトル図法で歪めた時」だと思う。

質問者さんは「大圏航路」と「等角航路」が区別出来てないのでは？

お礼

回答有難うございました。
大圏航路と等角航路ということですが、私は両方とも言葉として知らないですし、○○図法という実際的、実務的問題以前に、球面（数学的な厳密な意味での）の経度線と緯度線は球面上のいたるところ（両極は特異なので？ですが）完全に直交しているのではないでしょうか。
直交という意味は球面上のある点を通過する経度線、緯度線（いわゆる座標軸）方向の接線ベクトルが直交しているという意味です。球面座標、円筒座標、極座標はすべて直交曲線座標に分類されるのではないでしょうか。地球儀を見ていても私は直交しているように見えるのですが、違いますでしょうか。もし、直交していなとすると質問の前提条件が崩れてしまいますので質問の取り消しとなってしまいます。