波動方程式（デカルト座標）を極座標に変換する方法

質問

化学系で、あまり数学ができないので、得意な方に質問させていただきます。
シュレーディンガーの波動方程式で運動エネルギーの演算子の一部分
　　　∂＾２ψ／∂ｘ＾２＋∂＾２ψ／∂ｙ＾２＋∂＾２ψ／∂ｚ＾２
がありますよね。（ψ：固有関数）↑固有関数ψをｘ、ｙ、ｚについて２階偏微分したものの和

それを極座標ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ、ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ、ｚ＝ｒｃｏｓθ（←今教科書を持ってないので間違っているかもしれませんが、多分こんな感じ）で変換したいんですけど、ｘとｙにはθとφについて２つ偏微分が書けるので、高校レベルの数学の知識しか持ってない私には変換ができません。
ｄψ／ｄｘ＝ｄψ／ｄｔ×ｄｔ／ｄｘぐらいが分かるレベルなので簡単に教えてくれればうれしいです。
皆さんよろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> ｘ＝ｒｓｉｎθｃｏｓφ、ｙ＝ｒｓｉｎθｓｉｎφ、ｚ＝ｒｃｏｓθ
はそのとおりですね．

基本は
∂f/∂x = (∂f/∂r)(∂r/∂x) + (∂f/∂θ)(∂θ/∂x) + (∂f/∂φ)(∂φ/∂x)
です(x の代わりに y,z としても同形)．
つまり，x の微小変化に対する f の微小変化分は，
r を通じて現れる分，θを通じて現れる分，φを通じて現れる分，
これらの和だということです．

要は上の式を繰り返し使うだけですが
∂^2 f/∂x^2 だと上の式を更に x で偏微分するわけで，
右辺第１項の偏微分のときは
(∂f/∂r) を x で偏微分して (∂r/∂x) はそのまま
(∂f/∂r) はそのままで (∂r/∂x) を x で偏微分
の２項の和になります．
したがって
∂^2 f/∂x^2 = (∂^2 f/∂r^2)(∂^2 r/∂x^2)
　　　　　　　　+ (∂^2 f/∂θ^2)(∂^2 θ/∂x^2)
　　　　　　　　+ (∂^2 f/∂φ^2)(∂^2 φ/∂x^2)
などどしちゃってはいけません．

過去にも同様な質問があります．
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190707
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=162840
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=111144
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110911
など，およびそれらの回答で紹介されているＨＰなどご覧下さい．

お礼

あっ、同じような質問している人いますね。
おかげで助かりました、ありがとうございます。