微小量の2乗の積分方法は？

質問

お世話になります。

円の面積を求める方法の1つに、円を2次元の極座標系で考えて
∫ ∫ r dr dθ・・・(1)
で計算する方法があると思います。

この場合、積分する微小領域の形を rdθ × dr の長方形とみなしていると思います。

しかし微小領域は厳密には長方形ではなく、大きな扇形から小さな扇形を引いたような形だと思います。これをきちんと計算すると、微小領域の面積は

(大きな扇形の面積) － (小さな扇形の面積)
＝ (π(r＋dr)^2 － πr^2) dθ / (2π)
＝ (r dr dθ) + (dr^2 dθ / (2π))
となります。

これを r と θ で積分すると、第 1 項は (1) と同じなので、第 2 項 が積分するとゼロになるということだと思いますが、dr^2 の積分ってどうやればいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(大きな扇形の面積) － (小さな扇形の面積)
＝ (π(r＋dr)^2 － πr^2) dθ / (2π)
ではなくて
＝ (π(r＋dr/2)^2 － π(r - dr/2)^2) dθ / (2π)
と考えてください。そうすれば
＝ r dr dθ
です。

お礼

なるほど！納得です。

回答No.1

info33

>微小領域の面積は
>(大きな扇形の面積) － (小さな扇形の面積)
> ＝ (π(r＋dr)^2 － πr^2) dθ / (2π)
> ＝ (r dr dθ) + (dr^2 dθ / (2π)) ←　誤
　＝ (r dr dθ) + ((dr)^2 dθ / 2)
　＝ { r + (dr /2)} drdθ
r >> dr/2 なので{ }内の第2項は無視できて
　＝ r drdθ

>となります。
なので
> r と θ で積分すると、第 1 項は (1) と同じなので、第 2 項 が積分するとゼロに
>なるということだと思いますが、dr^2 の積分ってどうやればいいのでしょうか？
の第 2 項の積分は存在しない（無視できる）ので、dr^2の積分は考える必要はありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
> r >> dr/2 なので{ }内の第2項は無視できて
が理解できません。。
{ }内のdrも積分すれば無視できなくなるようなことはないのでしょうか？

補足

ご指摘いただいたとおり
誤) ＝ (r dr dθ) + (dr^2 dθ / (2π))
正) ＝ (r dr dθ) + ((dr)^2 dθ / 2)
ですね。
本質的な問題は変わらないと思いますので引き続きよろしくお願いします。