弧と弦の長さ

質問

[問]
単位円 α^2 ＋ β^2 = 1　上で、距離 d_1 , d_2 を次のように定義する。

d_1(<α,β> , <α´,β´>)＝√(α－α´)^2＋(β－β´)^2
d_2[p , p´]＝⌒pp´

(1)距離の公理を満たすのを示せ
(2)d_1(p,p´)≦d_2(p,p´)≦πd_1(p,p´)　が成り立つのを示せ

分かりにくいかもしれないですが、単位円上に p , p´を取って
　　d_1(pp´)が弦pp´
　　d_2(pp´)が弧pp´
です。図を載せればいいのですが・・・、やり方が分からなくて・・・
_________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

(1)は三角不等式が難しかったですが、なんとか証明できました。
問題は(2)なんですが、最初は明らかだと思ってたんですが・・・
なかなか証明ができません。

θの範囲を　0 ≦ θ ≦ π　として、
2(1-cosθ) <= θ^2 <= 2(1-cosθ)・π^2

↑と同値であると考えて、
前半と後半に分け微分や増減表などで試みたんですが、
うまくいきませんでした。
すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1,#3です。
A#3の補足質問の回答

＞　F(θ)＝θ－2sin(θ/2)
＞という式は成り立つのでしょうか？？
勿論成り立ちます。
F'(θ)=1-cos(θ/2)≧0　(全てのθ)
ですから
F(θ)が全てのθの範囲で単調増加関数で
F(0)=0ですからF(θ)≧0(θ≧0)です。
なので、0 ≦ θ ≦ πでF(θ)≧0（等号はθ=0の時成立）
が成立しますね。

お礼

何度も何度もすみませんでした。
公式を間違えて覚えていました・・・苦笑

とても助かりました！！ありがとうございました！！

回答No.3

info22

#1です。
A#1の補足質問のの回答
下記増減表は「MS ゴシック」でテキストエディタに貼り付けて見ていただけば縦の線が揃いますが、ここでは少し縦線や文字が縦に揃わないため醜いです。その点はお許しいただきたいと思います。

後半の増減表

θ|0| ... |θ1| ... | π |
-----------------------------
G'|0| + | 0 | - | -2π|
-----------------------------
G |0| ↑ |Max| ↓ | 3π2|

θ1は　sin(θ1)(π^2)=θ1を満たす値　(7π/8<θ1<π)
Maxは 2{1-cos(θ1)}π^2-(θ1)^2≒30.52
θが式で正確に表せないのがすっきりしませんね。

二乗しない方の
G(θ)=2πsin(θ/2)-θ
の増減表だと
G'(θ)=πcos(θ/2)-1
であるから
θ|0| ... |θ2| ... |π|
--------------------------
G'|0| + | 0 | - |-1|
--------------------------
G |0| ↑ |Max| ↓ |π|

θ2=2*cos^-1(1/π)=2.49
Max=2π√(1-1/π^2)-2*cos^-1(1/π)=3.46

となります。
こちらの方が最大値や最大値を与えるθを式で正確に表現できて
すっきりしますね。

補足

ありがとうございました。
大変助かりました。

ただいまさらなんですが、２乗しない場合ですが
　F(θ)＝θ－2sin(θ/2)
という式は成り立つのでしょうか？？
　(d_1)^2＝2(1－cosθ)
　　　　 ＝2sin(θ/2)
と考えたので、θも２乗で考えたのですが…
何度もすみませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba

QNo.3978777 とも同じですね

といいつつ，私おもいっきりそっちでミスリードしてますね
ごめんなさい(^^;;
余弦定理で二乗されてるのを忘れてた
余弦定理じゃなくって，
No.1さんのように半角を使う方が素直でしょうが，
どっちも普通に微分すればできるはずです．

回答No.1

info22

> θの範囲を　0 ≦ θ ≦ π　として、
> 2(1-cosθ) <= θ^2 <= 2(1-cosθ)・π^2
> ↑と同値であると考えて、
二乗前の
2sin(θ/2)≦θ≦2πsin(θ/2)
で
y1=θ-2sin(θ/2)≧0 (0 ≦ θ ≦ π)
と
y2=2πsin(θ/2)-θ≧0 (0 ≦ θ ≦ π)
を示すだけです。

前半は (0 ≦ θ ≦ π)で単調増加関数であり
θ=0で y1=0だから簡単に証明できますね。

後半は
(0 ＜ θ ≦ π)で y2＞0
θ=0で y2=0
を示せばいいだけではないですか？

＞前半と後半に分け微分や増減表などで試みたんですが、
うまくいきませんでした。
やった解答を補足に書いて下さい。そしてどこでどう上手くいかなかったかを具体的に書いて質問して下さい。

補足

前半は単調増加関数で、後半を
　G(θ) = 2(1-cosθ)・π^2 － θ^2
とおいて、G'(θ)＝０となるのはθ＝０のときだけだと考えました

しかし、θ＝πのときが　G'(θ)＝－2π ＜ ０
となり、単調増加関数でない。
つまりG'(θ)＝０となるのはθ＝０だけでなく０≦θ≦πの範囲でまだ存在する

ただ、θ＝π　のときは　G(θ)＝3π^2 ＞ ０
となるので　G(θ)＞０　でいいのかな…。とも思ったのですが…
この時点で今困っている状況です。