三角形の最大値

質問

座標平面状の2定点A(√2,0)B(-√2,0)に対し、条件PA・PB＝2を満たして動く点P(x,y)を考える。

x＝rcosθ,y＝rsinθ(0＜θ＜π/4,r＞0)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)r＾2＝4cos2θが成り立つことを示せ。
(2)三角形PABの面積の最大値を求めよ。またそのときの点Pの座標を求めよ。

(1)は条件式と2倍角の公式を利用して導きました。
(2)3点A,B,Pをx軸方向に-√2だけ平行移動させると
O(0,0)B'(-2√2,0),P'(x-√2,y)
△ABP＝△OB'P'より、
△ABP＝1/2｜-2√2｜＝√2ｙ＝√2rsinθ

r＾2sin＾2θ＝4cos2θsin＾2θ
　　　　　 ＝-4sin＾4θ+4sin＾2θ
sinθ＝uとおき、f(u)＝-4u＾4+4u＾2
f'(u)＝-8u(2u＾2-1)
f'(u)＝0より
u＝0,±1/√2
としましたが、0＜θ＜π/4より
0＜sinθ＜1/√2となるので、これを最大にするsinθが分かりません。
どなたか教えて下さい。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

まず、

4cos2θsin＾2θ＝-4sin＾4θ+4sin＾2θ　　←の変形が間違ってる。

次に、微分を使う必要なし、（sinθ）＾2＝tとすると、tの2次関数になります。

実際の計算は自分でやってください。

お礼

回答ありがとうございます。

すいません。2を掛け忘れていました。当初(sinθ)＾2とおこうとしましたが、
0＜θ＜π/4から0＜sinθ＜1/√2
∴0＜(sinθ)＾2＜1/2という変形に自信が持てなかったのでしませんでしたが、この解き方の方が点Pの座標を求めやすかったです。

回答No.2

juukennbu

下から6行目の式がおかしくなってます。

<<<sinθ＝uとおき、f(u)＝-4u＾4+4u＾2
↑θに帰着させるよりも2θに統一した方が二次関数になるので分かりやすいです。
<<<r＾2sin＾2θ＝4cos2θsin＾2θ
sin^2θ = (1-cos2θ)/2
これを代入し
cos2θ=tなどとおいて
f(t)=2t-2t^2
=-2(t-1/2)^2+1/2
グラフを書いて0≦cos2θ(=t)≦1の範囲で最大値が目に見えると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

すいません。計算ミスをしていました。
cos2θのほうがθの範囲を出す際に何の疑問も持たずに出せましたが、
点Pの座標を求めるのにちょっと手間がかかりました。